Versuch 1: Impedanzmessung an Piezoelektrischen Bauelementen

December 21, 2016 | Author: Krista Kopp | Category: N/A
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1 Elektrotechnik Praktiku i Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 007 Versuch : Ipedanzessung an Piezo...

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Elektrotechnik Praktikum im Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis

Versuch 1: Impedanzmessung Bauelementen

an

Stand 2007

Piezoelektrischen

1. Beschreibung des Versuchsaufbaus Die Impedanzmessung erfolgt mit einem frequenzstabilen Funktionsgenerator für sinusförmige Wechselspannungen mit einstellbarer Amplitude und Frequenz, sowie einem digitalen Speicherosziloloskop. Die Impedanzberechnungen sind möglich durch Spannungsmessung mit einem Kanal des Oszilloskops. Dabei wird, aus dem vom Oszilloskop bei einer festen Frequenz aufgenommenen zeitabhängigen Signal, der komplexe Scheitelwertzeiger bestimmt. Diese Messung wird an drei Bauelementen durchgeführt: 1) Dem unbekannten Messobjekt ( device under test dut ) 2) Zwei bekannten Messobjekten (Kalibrierstandards)

Funktionsgenerator Agilent 8165

Uq

Z1

Z2

Oszilloskop Agilent DSO 3062

~ Zi

Udut

Um Zdut

Zoszi

Abb. 1 Messaufbau zur Impedanzmessung von Z dut Z i: U q: Z 1: Z 2: Z oszi: Udut:

Innenwiderstand des FunktionsGenerators hier 50 Ω Einstellbarer Scheitelwertzeiger Zuleitung zum Messobjekt + Mögliche Anpassung Zuleitung zum Oszilloskop Impedanz des Oszilloskops nicht direkt messbare Spannung des Messobjekts mit Impedanz Zdut

1

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Stand 2007

2. Kalibrierung des Messaufbaus durch bekannte Messobjekte. Im Folgenden wird gezeigt, wie mit Hilfe von 2 verschiedenen, bekannten Messobjekten die Impedanzberechnung durchgeführt werden kann: Mit Hilfe der Spannungsteilerregel folgt aus Abb 1: Um Z oszi = Udut Z 2 + Z oszi Udut Uq

mit

=

(1)

Z eff

Z1 + Zi + Z eff

1 Zeff

=

1 Zdut

+

= 1+

1 Z1 + Zi

(2)

Z eff

1 . Z2 + Zoszi

Wird nur das erste bekannte Messobjekt angeschlossen ( hier ein OPEN ) 1 ; Co = 100 fF Mit Zdut= Zo ( Impedanz des OPEN Standarts Zo = jωCo Ersatzschaltbild des OPEN Standards Co So gilt für die gemessene Spannung Umo am Oszilloskop mit (1)*(2) und Index OPEN: Umo Umo Udut Z oszi 1 * * = = Z +Z Uq Udut Uq Z 2 + Z oszi 1+ 1 i Z effo 1 1 1 mit . = + Zeffo Zo Z2 + Zoszi

o

für

(3)

( 3´)

Für das zweite bekannte Messobjekt wird ein ohmscher Widerstand benutzt, dessen Widerstandswert ungefähr dem Betrag der Impedanz des Messobjekts entspricht: Hier Zdut = ZL = 5kΩ + jω•1nH Ersatzschaltbild des LOAD – Standards

RL

LL

RL = 5 kΩ LL = 1 nH

Hier gilt analog zu (3) mit Index L für Load 2

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UmL UmL Udut Z oszi 1 = ∗ = = Z +Z Uq Udut Uq Z 2 + Z oszi 1+ 1 i Z effL

mit

1 ZeffL

=

(4)

1 1 + ZL Z2 + Zoszi

Bildet man nun

Stand 2007

( 4´)

1 1 − , so ergibt sich (3) (4)

 1 Z2  Z1 + Zi   Z2  Z1 + Zi  1   1+ 1+ − = 1+ − 1+ = Uq     Zeffo   Zoszi  ZeffL   Umo UmL   Zoszi      + 1 + Z2  Z1 Zi  1 − 1    Z   oszi  1  Zeffo ZeffL  

mit (3’) und (4’) folgt daraus:  1  1 Z2  1  1   ( − = 1+ + Zi) − Uq  Z 1  Z     o ZL   Um0 Uml   Zoszi  oder

Uq  Z1  (Z + Z ) 1 +  1 i  Z oszi  

=

 1 1   −  Z  o ZL   1 1   −  U  mo UmL 

=

Calm

(5)

Auf der linken Seite von Gleichung (5) stehen die unbekannten Größen des Messaufbaues, auf der rechten Seite von (5) hat man die Impedanzen der bekannten Messobjekte und die dazugehörigen gemessenen Spannungen am Oszilloskop. Damit ist die Kalibrierkonstante Calm, die durch den Messaufbau bestimmt wird, bekannt. Wird nun das unbekannte Messobjekt mit der Impedanz Zdut in den Messaufbau eingesetzt, so lässt sich analog zu (5) mit der OPEN – Messung als bekanntes Messobjekt schreiben:

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1 1 − Zo Zdut Calm = 1 1 − Umo Umdut

(6)

Wegen (5) = (6) lässt sich aus (5) und (6) nun die Impedanz Zdut berechnen: 1 1 1 1 − − Zo Zdut Zo ZL = 1 1 1 1 − − Umo Umdut Umo UmL 1 1 − Zo ZL 1 1 = − Y dut = 1 1 Zdut Zo − Umo UmL

 1 1   − U   mo Umdut 

(7)

Dieses Vorgehen zur Berechnung der Admittanz Ydut lässt sich nun für unterschiedliche Messfrequenzen durchführen, so dass der Frequenzgang von Ydut(f) gemessen werden kann.

3. Modellierung des Piezobauelements mit Wirkungsgrad, mechanischer und elektrischer Güte

Bestimmung

von

Bei piezoelektrischen Materialien wie z.B. Blei – Zirkanat – Titanat (PZT), wie es bei diesem Versuch Verwendung findet, wird ein Teil der durch mechanische Verformung aufgebrachten Energie in elektrische Energie umgewandelt. Der Wirkungsgrad für diese Energiewandlung wird durch den elektro-mechanischen Koppelfaktor Keff =

eingespeis te elektrische Energie eingespeis te mechanisch e Energie = abgegebene mechanisch e Energie abgegebene elektrisch e Energie

dargestellt. Zur Beschreibung des gekoppelten elektro-mechanischen Verhalten wird das Butterworth van Dyke Modell (BVD-Modell) aus Abb. 2 als Standardmodell benutzt. (siehe Anhang aus IEEE Standard zur Piezoelektrizität)

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Cm

C0

Lm

Y S = j ⋅ ω ⋅ C0 +

1  1   R m + j ⋅  ω ⋅ L m − ω ⋅ C m  

Rm

Abb. 2 BVD-Modell Der elektrische Bereich des Piezos wird durch die Parallelkapazität C0 modelliert, in der die, durch mechanische Verformung getrennten, Ladungen gespeichert vorliegen. Das mechanische Verhalten wird durch einen zu C0 parallelgeschalteten Schwingkreis mit den „elektrischen“ Bauelementen Lm, Cm und Rm dargestellt. Unter welchen Voraussetzungen diese elektrische Darstellung des mechanischen Verhaltens erlaubt ist wird im folgenden erläutert: Bei dem in Abb. 3 gezeigten Piezo handelt es sich um ein mechanisch schwingfähiges System, mit einer bewegten Masse m, einer Steifheit (Federkonstante D) und viskosen (geschwindigkeitsproportionalen) Reibungsverlusten d.

Abb. 3 Piezo mit Impedanzmessplatz

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Die Bewegungsgleichung eines solchen Masse-Feder-Dämpfer Systems läßt sich einerseits durch die auftretenden Kräfte bei freier Schwingung durch folgende Differenzialgleichung beschrieben: d2 x dx m⋅ 2 + d⋅ +D⋅x = 0 (8) dt dt dabei ist x die Auslenkung der bewegten Masse m aus ihrer Ruhelage, und m⋅

d2 x dt 2

die Trägheitskraft auf die mit

D⋅ x d⋅

d2 x dt 2

beschleunigte Masse;

die Rückstellkraft der Feder mit Federkonstante D

dx dt

und

die geschwindigkeitsproportionale Reibungskraft mit Proportionalitätskonstante d.

Das elektrische Verhalten der Bauelemente Lm, Cm und Rm in Abb. 2 wird andererseits im elektrischen Bereich durch die folgenden Spannungs - Strom u-i, bzw. Spannungs-Ladungszusammenhänge u-q beschrieben: Spannung uL an der Spule bei zeitlicher Änderung des Stroms i uL = Lm ⋅

di d2q = Lm ⋅ 2 ; dt dt

wobei i =

dq dt

Spannung uC am Kondensator bei vorhandener Ladung q uC =

1 ⋅q Cm

Spannung uR am ohmschen Verbraucher bei Stromfluss i uR = Rm ⋅ i = R ⋅

dq dt

Wird der Schwingkreis aus Lm, Cm und Rm bei vorhandener Ladung q kurzgeschlossen *, so ergibt sich folgende Differenzialgleichung für die Ladung q analog zu (1):

Lm ⋅

d2q dq 1 + Rm + ⋅q = 0 2 dt dt Cm

(9)

*

Dies entspricht der freien Schwingung des einmal ausgelenkten, frei schwingenden mechanischen Masse – Feder – Dämpfer Systems.

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Durch Vergleich von (8) und (9) stellt man fest: Die Auslenkung x wird in der elektrischen Beschreibung durch die Ladung q dargestellt, die mechanische Kraft f entspricht der elektrischen Spannung u, d.h. Auslenkung und Ladung, sowie Kraft und Spannung sind zueinander korrespondierende Größen. Für kleine Änderungen sind diese Größen beim Piezo zueinander proportional: f = C1 ⋅ u (10) q = C2 ⋅ x (11) Eine am Piezo anliegende Spannung führt zum auftreten einer proportionalen Kraft, eine mechanische Verbiegung aus der Ruhelage erzeugt eine Ladungstrennung auf den Kondensatorplatten von C0. Beide Proportionalitätskonstanten sind wegen der Gültigkeit des Energieerhaltungssatzes gleich, denn für die mechanische Leistung pm gilt pm = f ⋅

dx = f ⋅v dt

mit Kraft f und Geschwindigkeit v.

Für die elektrische Leistung pe gilt: dq pe = u ⋅ = u⋅i mit Spannung u und Stromstärke i§ dt Wegen (10) und (11) wird nun: pm = f ⋅

dx dx C1 dq C1 = C1 ⋅ u ⋅ = ⋅u⋅ = ⋅u⋅i dt dt C2 dt C2

mit

C1 =1 oder C1 = C2 = Kem (12) C2 Kem heißt dann piezoelektrische Koppelkonstante. Wenn im elektrischen Ersatzschaltbild an den Serienschwingkreis von Abb.2 eine Spannungsquelle u(t) angeschlossen wird entspricht das also einer Kraft die im mechanischen Masse – Feder - Dämpfer System wirksam wird und es gilt: pm = p e ⇒

d2q dq 1 u( t ) = Lm ⋅ 2 + Rm ⋅ + ⋅q dt dt Cm mit (10), (11) und (12) wird daraus: f (t) d2 x dx K em = Lm ⋅K em ⋅ 2 + Rm ⋅ K em ⋅ + ⋅x K em dt dt Cm oder

§

zeitabhängige physikalische Größen sind kleingeschrieben

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f ( t ) = Lm ⋅ K 2em ⋅

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d2 x K 2em 2 dx + R ⋅ K + ⋅x m em dt 2 dt Cm

(13)

außerdem gilt wegen (8)

f (t) = m ⋅

d2 x dx + d⋅ +D⋅x 2 dt dt

(14)

Ein Koeffizientenvergleich zwischen (13) und (14) liefert elektromechanischen Umwandlungsformeln für die Modellparameter

m = Lm ⋅ K 2em ;

d = Rm ⋅ K 2em ;

D=

K 2em Cm

damit

die

(14´)

4. Bestimmung der Modellparameter Cm, Lm, Rm und C0: Diese lassen sich mit Hilfe der elektrischen Impedanzmessung mit harmonische Wechselspannung in der Umgebung der mechanischen Resonanzfrequenz bestimmten. Für das Ersatzschaltbild in Abb. 2 gilt dann für die Admittanz YS Y S (ω) = j ⋅ ω ⋅ C0 +

1  1   Rm + j ⋅  Lm − ω ⋅ Cm  

Für die Parameterextraktion wird dann folgendes Vorgehen gewählt (siehe IEEE Standard für...). Hierzu werden die aus den gemessenen Spannungswerten durch Gleichung (7) berechneten Admittanzen YM benutzt: 4.1. Bestimmung der Serienresonanzfrequenz fs, die an der Stelle auftritt, an der Realteil (YM) ein Maximum besitzt. 1 und Bestimmung der YM Parallelresonanzfrequenz fp die an der Stelle auftritt, an der Realteil (ZM) ein Maximum besitzt.

4.2. Berechnung der Impedanz ZM =

4.3. Berechnung des elektromechanischen Wirkungsgrads Keff

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K eff =

fp2 − fs2 fp2

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,

der angibt wie viel elektrische Energie bei der Messung in mechanische Energie umgewandelt wurde. 4.4. Bestimmung der Gesamtkapazität CT = C0+Cm bei Frequenzen mindestens 10% unterhalb der Resonanzfrequenzen mit CT =

Im aginärteil(YM ) ω Co =

4.5. Bestimmung von

fs ⋅ CT fp

und

4.6. Bestimmung von

Lm =

1 (2 ⋅ π ⋅ fs )2 ⋅ Cm

4.7. Bestimmung von

Rm =

1 Re alteil(YM ( fs ))

Cm = CT – C0

Bei diesem Vorgehen ist nur der Imaginärteil (YM) frequenzabhängig gut modelliert, während der Realteil (YM) nur für die Frequenz f = fs angepasst ist. Außerhalb von fs wird der Realteil (YM) in der Regel zu klein berechnet, wie es eine Beispielextraktion von Abb. 4 zeigt. 3.50E-04

Admittanz / S

3.00E-04 2.50E-04 2.00E-04

real(YM) / S

1.50E-04

imag(YM) / S real(Ys) / S

1.00E-04

imag(Ys) / S

5.00E-05 0.00E+00 20000

25000

30000

35000

40000

45000

Frequenz / Hz

Abb. 4

Vergleich Messung YM und Simulation YS eines Piezos.

Um auch den Realteil (YM) breitbandig richtig zu berechnen müssen die dielektrischen Verluste des Piezos mit berücksichtigt werden. Hierzu wird das Ersatzschaltbild um einen frequenzabhängigen Parallelwiderstand erweitert: Es gilt für den dielektrischen Verlustfaktor tanδ: 9

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tan δ =

1 ω ⋅ R p ⋅ C0

Rp =

und deshalb

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1 ω ⋅ C0 ⋅ tan δ

(15)

Dabei ergibt sich das verbesserte Ersatzschaltbild nach Abb. 5.

Cm 1 ω ⋅ C0 ⋅ tan δ

C0

Y e = ω ⋅ C0 ⋅ tan δ + Y s

Lm

(16)

Rm

Abb. 5 Erweitertes Ersatzschaltbild mit dielektrischen Verlusten. tanδ lässt sich außerhalb der Resonanz durch tan δ =

Re alteil(YM ) Im aginärteil(YM )

als Startwert extrahieren. Jetzt stehen genügend genaue Startwerte für die Berechnung von Ye zur Verfügung, um mit einem Optimieralgorithmus eine verbesserte Kurvenanpassung zu erreichen. Hierzu wird der mittlere Quadratische Fehler zwischen gemessenen Y-Parametern YM und nach (16) berechneten Y-Parameter Ye gebildet: 1 Fehler = ⋅ ∑ n geeignete

Frequenzpunkte

 Re al(YM ) − Re al(Y e )   + Re al(YM )   2

 Im ag((YM )) − Im ag(Y e )    Im ag(Y M )  

2

n= Anzahl der benutzten Frequenzen Ersatzschaltbild bei hohen Frequenzen Für hochfrequente mechanische Resonanzen ( f > 100 kHz ) spielen auch die Zuleitungsinduktivitäten und der Kontaktwiderstand zwischen Piezomaterial und Metall eine Rolle: Diese beiden neuen Modellparameter erscheinen nun im Ersatzschaltbild von Abb. 6.

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Rs Ls

Cm 1 ω ⋅ C0 ⋅ tan δ

C0

Lm

1 Ye

ZRF = RS + j ⋅ ω ⋅ L s +

(17)

Rm

Abb. 6 Hochfrequenztaugliches Ersatzschaltbild des Piezos Bei bekannten Bauelementewerten kann jetzt die dielektrische Güte Q e =

sowie die mechanische Güte im Resonanzfall Q m =

1 2 ⋅ π ⋅ fs ⋅ Cm ⋅ R m

1 , tan δ

berechnet

werden. Bei Kenntnis von Kem ist es nun auch möglich eine effektive bewegte Masse mit m eff = L m ⋅ K 2em , eine effektive Proportionalitätskonstante für viskose Reibung deff = Rm ⋅ K 2em und eine effektive Federkonstante D eff =

K 2em zu bestimmen. Cm

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5. Aufgaben: Häusliche Vorbereitung: Berechnen Sie die Impedanz (Z-Parameter) und die Addmittanz (Y-Parameter) der Schaltung in Abb. 7.

C0

Cm Lm

R0

Rm

Abb.7 Schaltung zur Berechnung von Y- und Z- Parametern 5.1 Simulieren Sie den vorhandenen Messaufbau mit dem Schaltungssimulationsprogramm ADS (Advanced Design System) von Agilent. Als Simulationsart wird eine AC-Simulation im Frequenzbereich von 10 kHz bis 100 kHz durchgeführt. Dabei sind die OPEN, LOAD und DUT Messungen, wie in Abb.1 dargestellt, im Simulator nachzubilden. Die Simulation der OPEN Messung ist bereits als Beispiel vorhanden. Starten sie ADS und öffnen sie das Projekt c:/PraktikumFunktionswerkstoffe/Versuch1_prj. Als unbekanntes Messobjekt benutzen sie den Schaltplan von Abb. 2 mit den Parametern C0=1 nF, Cm=30 pF, Lm=1.5 H und Rm=50 kΩ. Berechnen Sie aus dem Simulationsergebnis der Spannungen am Oszilloskop mit Gleichung (5) die Kalibrierkonstante Calm und stellen sie Realteil und Imaginärteil grafisch dar. Welche physikalische Bedeutung hat Calm (Hinweis: bestimmen sie die Einheit).Überlegen sie, wie mit (5) bei bekanntem Calm die gesamte Eingangsimpedanz der Quelle Z1+Zi abgeschätzt werden kann. Die folgenden Aufgaben werden mit EXCEL bearbeitet. Hierzu finden Sie unter c:/PraktikumFunktionswerkstoffe/Vorlage_LF.xls ein vorgefertigtes EXCEL file als Vorlage, mit dem die Messgeräte angesteuert werden können und die erzeugten Daten direkt in einer EXCEL Tabelle gespeichert werden. Mit diesen Daten werden anschliessend die Auswertungen in EXCEL durchgeführt. Wenn Sie einen eigenen LAPTOP mit EXCEL97 oder neuer besitzen, können Sie diesen zum Versuch mitbringen und den Versuch mit dem eigenen LAPTOP durchführen. Ansonsten benötigen sie einen USB Speicherstick, um die während des Versuchs erzeugten EXCEL files für die weitere Auswertung mitzunehmen.

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5.2. Kalibrierung des Messaufbaus mit den bekannten Messobjekten OPEN und LOAD im Frequenzbereich 10 kHz < Frequenz < 100 kHz mit der Schrittweite 2 kHz. Bestimmen Sie wie in 5.1. die Kalibrierkonstante Calm und die Eingangsimpedanz der Quelle Z1+Zi . Wie groß ist der Kapazitätswert des Kondensators zur Impedanzanpassung der Quelle ans Messobjekt? 5.3.

Messung des Piezos und Berechnung von Ydut nach Gleichung (7).

5.4.

Parameterextraktion des BVD-Standardmodells nach Abb.2.

5.5 Erweiterung des Standardmodells mit dielektrischem Verlustfaktor gemäß Abb.5. 5.6. Optimierung des Modells aus 5.5 und Bestimmung der elektrischen Güte Qe, der mechanischen Güte Qm und des elektromechanischen Wirkungsgrads Keff. 5.7 Kalibrierung des Messaufbaus mit den bekannten Messobjekten OPEN und LOAD im Frequenzbereich 1 MHz < Frequenz < 10 MHz mit der Schrittweite 250 kHz. Hier wird keine zusätzliche Impedanzanpassung durch einen Kondensator benötigt, da der Piezo hier niederohmig ist (Z < 100 Ω). Bestimmen Sie wie in 5.1. die Kalibrierkonstante Calm und die Eingangsimpedanz der Quelle Z1+Zi . Wie groß ist der Widerstandswert des Innenwiderstands der Quelle ? 5.8 Führen sie die Schritte 5.3. bis 5.6. analog durch. Beurteilen Sie die Anpassung nach der Optimierung . 5.9 Benutzen Sie nun das hochfrequenztaugliche Ersatzschaltbild von Abb. (6) für die simulierten Z-Parameter von Gleichung (17). Führen Sie nun eine Optimierung der Z-Parameter durch. Für die Ausarbeitung: A.1. Überlegen Sie warum in den unterschiedlichen Frequenzbereichen unterschiedliche LOAD Standards benutzt wurden. A.2. Die piezoelektrische Koppelkonstante beträgt Kem ≈ 0.03 N/V. Bestimmen Sie damit die effektiven mechanischen Eigenschaften für die bewegte Masse m, die Federkonstante D und Reibungskoeffizienten d nach Gleichung (14´). Vergleichen und diskutieren Sie das Ergebnis bei den unterschiedlichen Resonanzfrequenzen. Zeigen Sie durch eine Dimensionsbetrachtung, daß die Proportionalitätskonstanten C1 und C2 der Gleichungen (10) und (11) die gleichen Einheiten besitzen. Anhang IEEE Standard zur Piezoelektrizität aus „IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, Vol. 43, No. 5, September 1996 pp. 737-772.“ Beachte: Im Unterschied zur bisherigen Versuchsanleitung heißen in diesem Dokument die Bauelemente des mechanischen Schwingkreises L1,C1 und R1 .

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ANSI/IEEE Std 176-1987

An American National Standard IEEE Standard on Piezoelectricity

Sponsor Standards Committee of the IEEE Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control Society Approved March 12, 1987 IEEE Standards Board Approved September 7, 1987 American National Standards Institute

IEEE Std 176-1987 is reproduced in “IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, Vol. 43, No. 5, Sept. 1996” with permission of the IEEE Standards Department. This permission is restricted to IEEE committee efforts to revise this standard. @

Copyright 1988 by

The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc 345 East 47th Street, New York, NY 10017, USA No part of this publication may be reproduced in any form, in an electronic retrieval system or otherwise, without the prior written p m i s s i o n of the publisher.

I UNDER REVISION I ANSI/IEEE Std 176-1987

IEEE STANDARD ON

for these constants can be obtained from resonator measurements on a suitably shaped and oriented specimen, provided the theory for the mode of motion of that specimen is known. The measurements basically consist of determining the electrical impedance of the resonator as a function of frequency. In principle it is necessary to measure the resonance and antiresonance frequencies, the capacitance, and the dissipation factor well removed from the resonance range to obtain the information required for finding the material constants. In some instances an accurate measurement of the antiresonance frequency cannot be made, and it is then convenient to characterize the resonator by a lumped-parameter equivalent circuit and to calculate the material constants from the measured parameters of this circuit.

capacitor. However, if the stress is to be applied to the major surfaces, it is then difficult, due to friction, to ensure that the stress is uniaxial. Thus, as a compromise, the lateral dimensions should be about twice the thickness. An additional problem with the use of the direct effect is that some of the charge generated by the application (or removal) of the stress can leak off before it is measured. Drift due to pyroelectric effects causes further confusion with crystals in polar classes. For the converse effect, application of a constant electric field under conditions of zero stress inside the sample yields

Sp

=

dipEi

Use of the converse effect is generally more accurate for measuring piezoelectric constants than use of the direct effect, although the small strains produced by an electric field of reasonable size can lead to experimental difficulties. A condition of zero stress within a sample can be assured regardless of its shape, and it is relatively easy to apply a uniform electric field. The strain can be measured with reasonable accuracy, approximately I%, by means of strain gauges or with interferometric techniques. Since alternating electric signals eliminate the influence of pyroelectric effects and are more convenient to measure than de signals, a useful extension of static techniques is made by the application of an alternating stress or electric field to the sample [B16].As long as the frequency of the applied signal is much less than the fundamental resonance frequency of the sample with its mounting in the test instrument, Eqs 130 and 131 still apply, and improved accuracy can be obtained in this way. In general, static and quasistatic techniques for measuring piezoelectric constants are capable of reasonable accuracy, a few percent or less under optimum conditions, and have proven useful in certain special cases. One example is routine testing of poled ferroelectric ceramics. These techniques are not recommended in this standard, however, for investigations of new crystals, particularly crystals with low symmetry, because dynamic methods are capable of greater accuracy and can be applied easily to a much wider range of crystal orientations and sample geometries.

6.4.1 The Equivalent Circuit. The impedance properties of a piezoelectrically excited vibrator can be represented near an isolated resonance by a lumped-parameter equivalent circuit, the simplest form of which is shown in Fig 14. NOTE: The impedance and admittance functions for a piezoelectrically excited vibrator derived in Section 4 often can be represented more exactly by a transmission line equivalent circuit [B17], [B18].

The representation of a piezoelectric vibrator by this circuit is useful only if the circuit parameters are constant and independent of frequency. In

Fig 14 Equivalent Electrical Circuit of a Piezoelectric Vibrator

P

CO

6.4 Resonator Measurements. The electrical properties of a piezoelectric vibrator are dependent on the elastic, piezoelectric, and dielectric constants of the vibrator materials. Thus, values

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I UNDER REVISION I ANSl/IEEE Std 176-1987

PIEZOELECTRICITY

impedance maximum. Accordingly, the critical frequencies fl and f2 each have three associated frequencies, f, U ,, f,,f 1 and f 2 5, an experimental value of fp is equal to f2 within the experimental error in determining the resistance maximum. In general, fp differs from f2 by about 1/Q2.

A detailed analysis of the piezoelectric vibrator for which the equivalent circuit of Fig 14 applies is contained in IEEE Std 177-1977 [ 5 ] . NOTE The case of higher mechanical losses where the equivalent circuit is assumed to hold exactly is described in [B19]. An analysis accounting for dielectric, piezoelectric, and elastic losses is described in [B20].

A more complex equivalent circuit which accounts for parasitic elements due to the resonator mounting is treated in [B21]. Every effort should be made to minimize the effects of these parasitic elements in resonators that are constructed for the purpose of measuring material constants. 6.4.2 Effect of Dissipation on the Definition and Measurement of Frequencies Near Resonance and Antiresonance. The resonator theory presented in Section 4 applies to ideal lossless materials, in which case the resonator impedance is purely reactive and the characteristic frequencies fi and f2 are well defined. The dissipation present in real materials obscures the definition of these frequencies. Whereas in the lossless resonator there are single frequencies ( f , and f 2 ) which coincide with the admittance and impedance maxima, respectively, there are, in a lossy resonator, three frequencies of interest near the admittance maximum and, similarly, three frequencies near the

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merit, M > 50, and does not necessarily require the use of a bridge. The third method, which is suitable for resonators with low figures of merit, is to make separate determinations of S,,the quality factor Q, and the motional resistance R,.Then C, is given by the expression

For resonators having M > 50 it is sufficient to use a measured value off, or f, directly for fi, and a measured value off, or f, directly for f,. Techniques for measuring f, and f, are described in IEEE Std 177-1978 [5], the techniques for measuring f, and f , are described in IEC 444 (1973) [4].When M < 50 it may be necessary to make corrections to the quantities measured, or to make more detailed measurements on an admittance or impedance bridge to determine f , and&, directly as described in [B21].When M < 5 the frequency &, cannot be measured accurately, although f , can still be measured with reasonable accuracy as long as Q > 5. For all equations in the remainder of this section it is assumed that the correspondence fi = f , and & = fp has been made. 6.4.3 The Motional Capacitance Constant and Measurement of the Motional Capacitance. In addition to the frequencies f, and&,,the motional capacitance C, of the equivalent circuit is a convenient parameter for relating the resonator response to the elastic, piezoelectric, and dielectric material constants. In this connection it is useful to define the motional capacitance constant F = C, ( t / A ) ,where C, is the motional capacitance of the vibrator, t is the linear dimension parallel to the direction of the electric field, and A is the electrode area. The quantity r has the same physical dimensions as a permittivity. Three methods are described here for measuring C,. The first method, which is preferred, is to measure the frequency dependence of the resonator reactance near resonance with an impedance bridge. The points will lie approximately on a straight line and the slope at f = f , is related to Cl by

C1

=

1/(2~f,R1&)

(Eq 137)

Values for Q and R , can be obtained from measurements of the resonator conductance versus frequency on an admittance bridge. 6.4.4 Relations Between Vibrator Response and Material Constants. For each of the modes of vibration analyzed in Section 4 there is a transcendental expression for the electrical impedance Z ( w ) that, in the absence of losses, is exact except for the approximations made in obtaining the equation of motion and boundary conditions. Expressions relating the frequencies f , and & to the material constants are obtained from the equations Z ( & ) = 0 and 1/Z( f,) = 0, respectively. The proper procedure for obtaining an expression that relates the motional capacitance constant to the material constants is to match the equivalent circuit impedance. Zeq( w ) (letting R, = 0 for this calculation) and its first derivative to those of the exact impedance Z ( w ) at the frequency os = 2 ~ &Thus, . from

z&Js>= Z(w,)

=

0

(Eq 138)

one obtains

L,

=

1/w,2c1

and from (Eq 140) one obtains

The error in C, is less than 1%for the resonators with M > 10. A second method is to measure the motional resonance frequency f s L for the combination of a resonator in series with a capacitor C,. A plot of f,/2(LL - f , ) versus C, then yields a straight line with a slope of l / C l as shown by the following approximate relation:

The parallel capacitance CO in the equivalent circuit is not easily related to the material constants. However, it is never necessary to measure CO for determining material constants. If one really wants a representative value for CO of a resonator, for example, for a filter application, one procedure is to find the value that gives the best fit to the correct impedance over the frequency range of interest [B22]. Of course, if the coupling factor is small, 0.1 or less, then COcan be calculated accurately from the dielectric constant and dimensions of the resonator. 6.4.5 Length-ExtensionalModes of Bars. The length-extensional modes of bars [B23] have par-

Either side of Eq 136 should be greater than 10 for the approximation to be valid. This method is most suitable for resonators with a high figure of 44

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