SUMÁRIO Modo I IC IC Modo II GIIC Modo III O Problema Antiplano G

September 19, 2017 | Author: Levi Vidal de Caminha | Category: N/A
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1 SUMÁRIO SUMÁRIO Intrduçã A História ds Navis Liberty Uma Visã Geral da Mec&a...

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SUMÁRIO SUMÁRIO........................................................................................................................ 28 4. 2 - Introdução................................................................................................................ 31 4. 3 – A História dos Navios Liberty ................................................................................. 32 4. 4 – Uma Visão Geral da Mecânica da Fratura................................................................ 33 4. 6 - Revisão bibliográfica .............................................................................................. 41 5. 1 - Introdução................................................................................................................ 48 5. 2 – Teoria Microscópica da Resistência dos Materiais ................................................... 49 5.2.1 – Tensão de Ruptura dos Materiais ........................................................................... 52 5.2.2 – Resitência Teórica dos Materiais Cerâmicos .......................................................... 53 5. 3 – Critérios Fenomenológicos de Fratura ..................................................................... 58 5.3.1 - Estudo Fenomenológico das Trincas ...................................................................... 58 5.3.2 - Critério de Fratura dos Materiais ............................................................................ 61 5.3.3 - O Campo de Tensão ao Redor de uma Trinca Elíptica ............................................ 62 5. 4 - Fundamentos da Teoria da Elasticidade.................................................................... 63 5.3.1 - O comportamento mecânico dos sólidos................................................................. 63 5.4.2 – Determinação da rigidez e da flexibilidade de um material .................................... 65 5.4.3 - A energia elástica armazenada em um sólido.......................................................... 66 5.4.4 – A variação da flexibilidade de um material durante a fratura.................................. 67 5.5 - Introdução a Teoria Clássica da Mecânica da Fratura ................................................ 70 5.5.1 - A teoria de Inglis para a fratura e a sua abordagem dos concentradores de tensão ............................................................................................................................... 71 5.5.2 – A geometria da zona de acúmulo de tensão............................................................ 72 5.6.3 - O critério de fratura de Inglis ................................................................................. 75 5. 6 – Abordagem do Campo de Tensão Elástica............................................................... 78 6.3.1 – Dedução das equações do Campo de Tensão Elástico na ponta da Trinca .............. 84 6. 7 – Condições de Contorno ........................................................................................... 88 6. 8 – Resultados Analíticos de Fratura Lisa...................................................................... 89 6.2.1 - Modo I  GIC  K IC  ............................................................................................ 92 6.2.2 - Modo II  GIIC  K IIC  ........................................................................................... 98 6.2.3 - Modo III – O Problema Antiplano  GIIIC  K IIIC  ................................................. 102 6.3.1 - Perfil de Tensões na ponta da Trinca ...................................................................... 109 6.4.1 - Fator Geométrico ou de Forma............................................................................... 113 6.4.2 - Critério de Fratura.................................................................................................. 116 6.4.3 - A Zona Plástica e a Tenacidade a Fratura ............................................................... 118 7. 3 - O Balanço Energético do Modelo de Griffith ........................................................... 125 6.6.4 – Interpretação do balanço energético de Griffith para a fratura baseado na geometria do campo de tensão ao redor do defeito ............................................................ 125 6.6.5 - O processo de nucleação e crescimento da trinca, o tamanho crítico e a tensão de fratura .......................................................................................................................... 130 6.6.6 - O tamanho crítico mínimo da fratura...................................................................... 133 7.2.1 - O balanço energético de Griffith para a fratura....................................................... 137 6.6.2 - Cálculo da energias envolvidas no balanço de Griffith ........................................... 139 7.2.3 – A abordagem variacional do balanço energético de Griffith para a fratura ............. 142 I) – Caso: Quando o deslocamento é constante e as forças externas não realizam trabalho (grampos fixos, F = Fo, constante) ....................................................................... 143 28

II) – Caso: Quando a carga ou a tensão aplicada é constante (F = Xo.u)............................. 145 7.2.4 – O tamanho crítico, e o critério energético de Griffith para o crescimento de trinca................................................................................................................................. 149 7.3.1 - Teorema de Clapeyron ........................................................................................... 152 7.3.2 - Taxa de Energia Elástica Liberada ......................................................................... 154 7.3.3 - Principio Variacional da Energia Potencial Elástica................................................ 160 7.3.4 - Curva R para um Corpo Totalmente Frágil............................................................. 162 7.5.1 – A modificação de Irwin para a teoria do balanço energético de Griffith ................. 171 7.5.2 – A taxa de energia elástica liberada, G, para o caminho liso .................................... 172 7.5.3 – A resistência ao crescimento da trinca, R, para o caminho liso............................... 175 7.5.4 – O critério de fratura segundo Griffith-Irwin e a relação entre G e R, para o caminho liso...................................................................................................................... 176 7.5.5 - O fator de intensidade de tensão, KI , e a flexibilidade ou módulo elastico, E, para o caminho liso ........................................................................................................... 177 7.5.6 - O fator de intensidade de tensão crítico, ou tenacidade a fratura, KIC, para o caminho liso...................................................................................................................... 178 7.5.7 - O crescimento de trinca em regime de fratura estável ou quase-estática e o conceito de curva G-R de Irwin......................................................................................... 180 6.8.8 – Cálculo do decaimento da carga com o comprimento da trinca .............................. 182 6.9.9 – Cálculo da Curva de Resistência a Fratura com o Comprimento da Trinca............. 184 6.6.5 - Limitações da Teoria de Griffith-Irwin-Orowan para trincas não retilíneas ............ 185 6.6.7 – O principio da máxima dissipação de energia na fratura......................................... 192 2.8.1 – A teoria de Irwin-Orowan...................................................................................... 196 2.8.2 – A modificação de Irwin-Orowan do balanço energético da teoria de Griffith ......... 196 2.8.3 – A taxa de energia elasto-plástica liberada, J, para o caminho liso ........................... 197 2.8.4 - O critério de Irwin-Orowan .................................................................................... 198 2.8.5 – A integral de Eshelby-Rice, para o caminho liso.................................................... 200 2.8.6 - O crescimento estável e o conceito de curva J-R, para o caminho liso .................... 202 7.2.2 – As taxas de energia elástica e elasto-plástica liberada para um caminho de trinca projetada em um plano ............................................................................................ 205

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Capítulo IV INTRODUCÃO À MECÂNICA DA FRATURA CLÁSSICA E aconteceu que, acabando ele de falar todas estas palavras, a terra que estava debaixo deles se fendeu (Naum 16,31)

RESUMO

Palavras chave:

PACS números:

4. 1 – Objetivos do Capítulo

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4. 2 - Introdução A MF representa uma das mais importantes áreas interdisciplinares de estudos da Ciência e Engenharia dos Materiais e da Engenharia Mecânica. Ela estuda o aparecimento de falhas e defeitos e a sua influência sobre as propriedades mecânicas dos materiais. De uma forma geral, a MF trata da descrição da formação, da propagação e do crescimento de trincas e de superfícies de fratura. O entendimento dos mecanismos de formação e interação das trincas e superfícies de fratura com a microestrutura do material, também é uma das suas principais preocupações. Este entendimento permite compreender as propriedades mecânicas dos materiais e os processos de dissipação de energia durante o crescimento e a propagação das trincas. Através do conhecimento das propriedades dos materiais na presença de defeitos, torna-se possível dar a cada material o uso correto adequando-os conforme a solicitação de suas aplicações. Porque, por meio da MF é possível conhecer além do emprego mecânico destinado aos diferentes materiais, as suas limitações, tanto para aqueles materiais desenvolvidos em laboratórios, como para aqueles utilizados ou fabricados pela indústria de uma forma geral, como prevê as suas limitações em serviço. É importante lembrar que, a qualidade de um projeto em Engenharia está relacionada à correta escolha dos materiais envolvidos. A aplicação de cada material deve ser adequada às suas propriedades e limitações, a fim de preencher as necessidades e especificações do projeto e manter o controle dos riscos e danos, dentro de uma margem plausível, para que em uma situação crítica, seja possível prever quais são as consequências existentes no caso de falha de um de seus componentes. Com isso é possível evitar futuros acidentes (inclusive com vítimas), ou prejuízos, pelo uso indevido dos materiais além de suas limitações. O interesse particular de se conhecer os diferentes mecanismos que podem levar um material à falha mecânica, ou a sua ruptura completa, tem a finalidade de otimizar as diversas propriedades mecânicas oferecidas, e fornecer subsídios para o projeto de novos materiais, os quais devem ser capazes de resistir a solicitações com limites superiores aos limites dos materiais já existentes. A modificação das propriedades de um material pode ser feita melhorando-se os mecanismos de tenacificação. A finalidade é proporcionar à peça, ou ao produto, uma resistência mecânica, uma tenacidade, uma durabilidade, e um melhor desempenho, conforme a especificação desejada. As teorias e os modelos desenvolvidos na Mecânica da Fratura visam descrever as propriedades mecânicas dos materiais na presença de defeitos e conseqüentemente explicar os 31

fenômenos ligados às falhas mecânicas, como por exemplo, o processo de dissipação de energia durante o crescimento e a propagação das trincas. Este modelos também procuram relacionar as medidas feitas em ensaios macroscópicos com os efeitos da fratura sobre a microestrutura do material. Com isto é possível saber se um dado material pode, ou não, resistir à solicitação externa desejada.

4. 3 – A História dos Navios Liberty Esta é a história dos navios “Liberties” da Segunda Guerra Mundial – Estes foram os primeiros navios fabricados com chapas de aço soldadas e produzidos em série. Assim, graças à sua construção soldada, eles puderam ser fabricados numa produção superior à sua destruição pela ação do inimigo. E assim, foram decisivos em manter a Grã-Bretanha durante a guerra abastecida pela América do Norte. A construção desses navios começou em 1941 e foram fabricados mais de 2700 “Liberties”. Em meados de 1943, começaram a surgir casos de fratura catastrófica. Isto ocorria espontaneamente e subitamente, isto é, sem nenhuma causa óbvia, e acompanhada por reportagens alarmantes publicadas nos principais jornais da época. Ao todo, cerca de 400 navios sofreram algum tipo de trincamento e cerca de 90 apresentaram danos de grandes proporções, incluindo casos em que o processo de fratura foi tão catastrófico que causou a separação do navio em duas partes. Devido a essa crescente “epidemia” a Secretaria da Marinha Americana criou um Comitê de Investigação para revisar o projeto e os métodos de construção de navios mercantes fabricados com chapas de aço soldadas. Isto marcou o início dos estudos do comportamento à fratura de aços. E em um curto intervalo de tempo conseguiu-se amenizar o problema do colapso catastrófico deste tipo de navio, e a longo prazo, conseguiu-se aumentar os conhecimentos para o entendimento dos mecanismos responsáveis pelo comportamento frágil dos aços. O Comitê citado acima emitiu o seu relatório final em julho de 1946, mas as pesquisas tanto na Grã-Bretanha como nos Estados Unidos da América continuaram e, como conseqüência, forneceram os princípios básicos da ciência, hoje conhecida como “Mecânica da Fratura”.

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4. 4 – Uma Visão Geral da Mecânica da Fratura A existência de falhas tipo trincas não pode ser excluída em qualquer engenharia de estrutura. Ao mesmo, o aumento na demanda para conservação da energia e material são fatores ditantes que as estruturas a serem projetadas com a menor margem de segurança. Consequentemente, estimativas quantitativamente precisas ...

Os comportamentos de resistência à falhas de estruturas sujeitas à cargas mecânicas, podem ser tanto do tipo fratura-dominante como escoamento-dominante. Os defeitos são importantes para ambos os tipos de falhas. Mas aquele de importância primária para a fratura difere de uma forma extrema daqueles cuja influência de escoamento e da resistência ao fluxo plástico. Estas diferenças estão ilustradas esquematicamente na Figura - 4. 1. Para falhas de escoamento-dominante os defeitos significantes são aqueles que tendem a deformar e interromper os planos da rede cristalina, interferindo então com o deslizamento de discordâncias e proporcionando uma resistência a deformação plástica que é essencial para a resistência de metais de alta resistência mecânica. Exemplos de tais defeitos são os átomos substitucionais “fora de tamanho” e os átomos intersticiais, contornos de grão, precipitados coerentes e rede de discordâncias. Grandes defeitos como inclusões, porosidade, superfícies riscadas e pequenas trincas podem influenciar na secção de bearing líquida efetiva da carga, mas de outra forma tem pouco efeito sobre a resistência ao escoamento.

Figura - 4. 1. Tipos de falhas Estruturais

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Para falhas de fratura-dominante, isto é, fratura antes do escoamento geral da secção líquida, a escala de tamanho dos defeitos que são de maior significância é essencialmente macroscópica, desde que a plasticidade geral não é envolvida mas somente os campos de tensão-deformação locais associados com os defeitos. Os pequenos defeitos de rede cristalina relacionados, que controlam a resistência ao fluxo plástico, não influenciam diretamente. É importante enfatizar o quanto a resistência ao fluxo plástico está relacionada à susceptibilidade dos materiais a fratura. A Mecânica da Fratura, que é o assunto deste curso, diz respeito à falha de fratura-dominante quase totalmente. O primeiro sucesso da análise de um problema de fratura-dominante foi o trabalho de Griffith em 1920, que considerou o crescimento de trincas frágeis em vidros. Griffith formulou o agora bem conhecido conceito de que uma trinca existente em um material cresce se, portanto a energia total do sistema é abaixada, e ele supôs que existe um simples balanço de energia consistindo de uma diminuição na energia elástica de deformação dentro do corpo tensionado, conforme a trinca se estende, em contrapartida a energia necessária para criar as novas superfícies das trincas. Sua teoria conduz a estimativa da resistência teórica dos sólidos frágeis e também em dá a correta relação entre a resistência a fratura e o tamanho do defeito. O conceito de Griffith foi primeiro relacionado a fratura frágil de materiais metálicos por Zener e Hollman em 1944. Tão logo, Irwin apontou que o balanço de energia tipo Griffith deve estar entre (1) a energia de deformação armazenada (2) a energia de superfície mais o trabalho realizado na deformação plástica. Irwin também reconheceu que para materiais relativamente dúcteis a energia requerida para formar novas superfícies de trincas é geralmente insignificante comparado ao trabalho realizado na deformação plástica. Ele definiu uma propriedade G do material como a energia total absorvida durante o trincamento, por aumento na unidade de comprimento e por unidade de espessura. G é chamada de “taxa de energia elástica liberada” ou “força promotora do trincamento frágil”. Na metade da década de 50 Irwin contribuiu com outro avanço maior, mostrando que a abordagem da energia é equivalente a abordagem do fator de Intensidade de tensão (K), de acordo com a qual a fratura ocorre quando uma distribuição de tensão crítica, K C , na frente da ponta da trinca é atingida. A propriedade do material que governa a fratura pode 34

portanto ser estabelecida como um fator de intensidade de tensão crítico, KC , ou em termos da energia como um valor crítico, GC . A demonstração da equivalência entre G e K fornece a base para o desenvolvimento da disciplina da Mecânica da Fratura Elástica Linear. Isto porque a forma da distribuição da tensão ao redor e próximo à ponta de uma trinca é sempre a mesma. Então testes sobre formas adequadas e amostras carregadas para determinar K C torna possível determinar quais falhas são toleráveis em uma estrutura real sob dadas condições. Além disso, materiais podem ser comparados conforme sua utilidade em situações onde a fratura é possível. Também tem sido descoberto que a sensibilidade de estruturas a trincamentos subcríticos, tais como crescimento de trinca por fadiga e tensão de corrosão podem, de alguma forma, ser predita com base nos testes usando a abordagem do fator de intensidade de tensão. Os primóridios da Mecânica da Fratura Elasto-Plástica (EPFM) pode ser traçado com justiça ...... no desenvolvimento da Mecânica da Fratura Elástica Linear, notavelmente com os trabalhos de Well sobre deslocamento de abertura de trinca (DAT), que foi publicado em 1961. Contudo, a grande complexidade dos problemas de análises tem necessáriamente levado a algo que reteve o progresso. A MFEP é ainda uma disciplina em grande desenvolvimento.

4.3.1 – O Significado da Mecânica da Fratura No século dezenove a Revolução Industrial resultou em um enorme aumento no uso de metais (principalmente ferro e aço) para aplicações estruturais. Infelizmente, existiu também muitos acidentes, com perda de vidas, devido a falhas destas estruturas. Em particular, houve numerosos acidentes envolvendo explosões em Caldeiras de Vapor e equipamentos de ferrovias. Alguns destes acidentes foram devido a designes deficientes, mas isto foi também gradualmente descoberto que as deficências nos materiais na forma de falhas pré-existentes poderiam iniciar trincamento e fratura. Prevenções de tais falhas por melhores métodos de produção reduziram o número de falhas a níveis mais aceitáveis. Uma nova era de estruturas propensas a acidentes foi iniciada pelo advento de designes totalmente soldados, notavelmente os navios Liberty e tanques T-2 da 2ª guerra mundial. Cerca de 2500 navios Liberty, construídos durante a guerra, 145 quebraram em dois 35

e quase 700 experimentaram fraturas sérias. Muitas pontes e outras estruturas também falharam. As falhas frequentemente ocorreram sob tensões muito baixas, por exemplo, mesmo quando um navio estava aportado, e esta anomalia levou a investigações extensivas as quais revelaram que as fraturas forma frágeis e que as falhas e concentrações de tensões foram responsáveis. Também foi descoberto que a fratura frágil nos tipos de aços usados foi promovida por baixas temperaturas. Isto é mostrado na Figura - 4. 2, acima de uma certa temperatura de transição os aços comportam-se de uma forma dúctil e a energia requerida para a fratura aumenta grandemente.

Figura - 4. 2. Esquema do efeito geral da temperatura sobre a resistência a fratura de metais estruturais.

Os procedimentos de fabricação e designes correntes podem prever a fratura intrinsecamente frágil de estruturas de aço soldadas assegurando que o material tenha uma temperatura de transição adequavelmente baixa e que o processo de soldagem não aumente esta condição. Contudo, a fragilidade induzida por serviço, como por exemplo efeitos de irradiação em containers de pressão nuclear e corrosão por fadiga em plataformas a pouca distância da costa, permanecem uma causa para se pensar a respeito. Olhando a situação presente pode ser visto da Figura - 4. 3 que desde a 2ª guerra mundial o uso de materiais de alta resistência para aplicações estruturais tem sido grandemente aumentada.

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Figura - 4. 3. Introdução de materiais de alta resistência para aplicações estruturais.

Estes materiais são frequentementes selecionados para obter pesos econômicos. Estruturas de aeronaves é um exemplo óbvio. Pesos econômicos adicionais têm vindo a partir de refinamento em análise de tensões, que tem designe adequados levados a aumentar. Contudo, não foi reconhecido até o fim do ano de 1950 que, embora estes materiais não são intrinsecamente frágeis, a energia requerida para a fratura é comparativamente baixa, como mostra a s Fig.. A possibilidade, e realmente a ocorrência, desta baixa energia de fratura em materiais de alta resistência estimulou o moderno desenvolvimento da Mecânica da Fratura. O objetivo da mecânica da fratura é fornecer respostas quantitativas a problemas específicos concernente a trincas em estruturas. Como uma ilustração, considere uma estrutura contendo falhas pré-existentes e/ou nas quais as trincas se iniciam em serviço. As trincas podem crescer com o tempo devido a várias causas (por exemplo, fadiga, tensão, corrosão, fluência) e geralmente crescerá progressivamente mais rápida, Figura - 4. 4a. A resistência residual da estrutura, que é a resistência de falha como uma função do tamanho da trinca, diminuirá com o aumento no tamanho da trinca, como mostrado na Figura - 4. 4b. Depois de um tempo a resistência residual torna-se tão baixa que a estrutura pode falhar em serviço.

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4. 5 - O que estuda a Mecânica da Fratura e a sua importância tecnológica na Engenharia dos Materiais A mecânica da fratura trata da previsão da vida mecânica dos componentes mecânicos e estruturas sólidas. Existem basicamente dois tipos de estruturas e componentes estudados pela MFC. O primeiro tipo, é aquele constituído de materiais cujas falhas são dominadas pela fratura e o segundo tipo, é aquele constituído de materiais cujas falhas são dominadas pela fluência ou escoamento, conforme mostra a Tabela - IV. 1. A MFC possui aplicações tecnológicas e científicas, das mais diversas, dentre as quais destaca-se alguns exemplos: - chips eletrônicos, elementos de estrutura, elementos de máquinas, pontes, aviões, navios, vasos, tanques, caldeiras, autoclaves utilizados na armazenagem de fluidos sob pressão, para acionamento de máquinas a vapor, etc. Em fim, todo tipo de elemento, objeto, ou estrutura, soldada ou rebitada, que pode ser quebrada ou trincada. Tabela - IV. 1: Tipos de estruturas e componentes comumentes estudadas pela MFC

Falhas de Estruturas e Componentes Materiais Frágeis: dominados pela Materiais Dúcteis: dominados pelo fratura ou fratura-dominante escoamento ou escoamento-dominante - A plasticidade é altamente localizada - A plasticidade é generalizada - Os tipos de defeitos que significantes - Os tipos de defeitos significantes que controlam a resistência à fratura são controlam a resistência ao escoamento plástico essencialmente macroscópicos. são essencialmente microscópicos. - Introdução de defeitos no material - Introdução de defeitos no material Ex: falhas e defeitos em soldas, Ex: defeitos intersticiais, contorno de grão, porosidades, defeitos superfíciais, trincas precipitados, redes de discordâncias. nucleadas por tensões, fadiga ou corrosão (com perda de massa), dobras em forjamento Na maioria das aplicações, os materiais são submetidos a esforços mecânicos monotônicos contínuos e lentos (estáveis), rápidos (instáveis) ou cíclicos, conforme mostra a Figura - 4. 4. Com isto, eles podem apresentar o fenômeno da fratura, lenta ou quase-estática, da fratura rápida ou catastrófica e da fadiga, respectivamente. Por esta razão, o estudo da fratura compreende, de uma forma geral, basicamente quatro áreas: (i) a fratura estável, (ii) a fratura instável ou a dinâmica da fratura, (iii) a fadiga e (iv) o estudo da fractografia. (i) O estudo da fratura estável descreve o processo de crescimento de trincas em 38

situações próximas ao equilíbrio, ou seja, em situações em que as taxas de deformação não dependem da velocidade de crescimento dessas trincas. (ii) A dinâmica da fratura procura descrever o processo de formação crescimento e propagação de trincas que são produzidas por altas taxas de deformação, onde a sua velocidade de crescimento influencia os valores das grandezas energéticas, (caracterizando um fenômeno não-linear). A dinâmica da fratura, ou a fratura produzida em condições dinâmicas de instabilidade, por ser um fenômeno não-linear, apresenta situações de interesse para a Física e para a Engenharia de Materiais. Para a Física por se tratar de um exemplo de sistema instável, em processo de dissipação de energia. O entendimento deste processo de dissipação, pode contribuir para o estudo e a compreensão de fenômenos análogos, de complexidade ainda maior, como por exemplo, as avalanches, os terremotos e o movimento das placas tectônicas da crosta terrestre. Para a Engenharia de Materiais porque a compreensão deste fenômeno permite a otimização dos processos industriais e o projeto de novos materiais. (iii) O estudo da fadiga leva em conta o processo de propagação de trincas pelo acúmulo de defeitos e trincas no material em função da velocidade, do tempo e da freqüência de oscilação dos carregamentos cíclicos. (iv) A fractografia é uma parte da MF que procura estudar o fenômeno do ponto de vista mesoscópico. Ela envolve as três áreas citadas anteriormente e procura encontrar explicações para o processo de fratura na microestrutura do material, conforme será descrito, posteriormente, no Capítulo – IV. A mecânica da fratura procura estudar o comportamento mecânico dos materiais e sua propriedades frente as diferentes condições de carregamento ( Figura - 4. 4) e geometrias de ensaio.

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Figura - 4. 4. Diagramas típicos de carga x deslocamento. a) trincamento estável com diminuição da carga b) trincamento estável com carga constante c) trincamento estável com aumento da carga d) trincamento instável com fratura catastrófica e) trincamento com carga cíclica.

Considere agora os diversos tipos de ensaios onde se obtém os gráficos de carga X (em Newtons) pela deflexão u (em milímetros) conforme mostra a Os comportamentos representados nas Figura - 4. 4a) a

Figura - 4. 4. Figura

-

4.

4d)

podem ser estudados a partir de uma montagem conforme mostrado na Figura - 5. 14. Com respeito a Figura - 4. 4 e dentro destes estudos a Mecânica da Fratura deveria tentar fornecer respostas quantitativas para as seguintes perguntas: 1) Qual é a resistência residual do componente, ou estrutura, em função do tamanho da trinca? 2) Qual é o tamanho da trinca, que pode ser tolerada, sob um dado serviço de carregamento de forças externas? Isto é, qual é o tamanho máximo permissível da trinca? 3) Quão longo é levada uma trinca a crescer a partir de um certo tamanho inicial, por exemplo, o tamanho mínimo detectável de trinca, para o tamanho máximo permissível de trinca. 4) Qual é a vida média de serviço de uma estrutura quando um certo tamanho de falha préexistente (por exemplo: defeito de fabricação) é suposto existir? 5) Qual é a velocidade de crescimento que uma trinca apresenta em função do meio ou das 40

condições de uso do material? 6) Qual é a taxa de crescimento que uma trinca apresenta por carregamento cíclicos em função do meio e das condições de uso do material 7) Finalmente, quanto tempo leva para a trinca alcançar um tamanho crítico, isto é, qual é a vida útil de um componente ou estrutura? 8) Durante o período disponível para a detecção de uma trinca quão frequentemente deveria a estrutura ser inspecionada por ... trincas? Este curso é intencionado mostrar como os conceitos da mecânica da fratura podem ser aplicados tal que estas questões podem ser respondidas. Nas secções remanescentes 1.4-1.10 deste capítulo introdutório uma visão geral dos conceitos básicos e aplicações da Mecânica da Fratura Elástica Linear são dadas em preparação para tratamentos mais detalhado em capítulos subseqüentes.

4. 6 - Revisão bibliográfica A partir de agora será apresentado uma análise comparativa entre a Mecânica da Fratura Estável (ou Quase-Estática) Clássica (MFEC) e a Teoria Dinâmica da Fratura Instável (ou Catastrófica) Clássica (TDFIC) 4.5.1 - A Mecânica da Fratura Estável (ou Quase-Estática) Clássica Griffith [1] e Irwin [2] desenvolveram os primeiros estudos teóricos e experimentais da fratura estável, enquanto que Mott [2], Dulaney e Brace [4] são apontados como os precursores dos estudos da fratura dinâmica ou instável, e são considerados como os responsáveis pela visão moderna sobre o assunto, que persiste até o presente. Desde que Griffith em 1920 [1] quebrou bastões de vidro em seu laboratório na Inglaterra e percebeu que o crescimento de falhas somente é possível quando a energia liberada pelo avanço de uma trinca é maior do que a energia necessária para criar as novas superfícies [1]. A energia e a questão de como ela é dissipada, é tem sido no centro das preocupações para o desenvolvimento quantitativo da mecânica da fratura. Em 1947 Mott [3] percebeu que a inclusão de um termo de energia cinética no formalismo de Griffith poderia estender a abordagem de Griffith para energia de forma a incluir a dinâmica da fratura [2]. Ele achou que a velocidade de uma trinca deveria aproximarse assintoticamente de uma velocidade terminal. Em 1957 Stroh [3] propôs que esta 41

velocidade terminal deveria ser igual à velocidade das ondas de Rayleigh no material, resultado que já estava implícito nos cálculos de já antecipado por Yoffe em 1951 [44]. Em 1960 Dulaney e Brace [4] corrigiram os cálculos efetuados por Mott para a dependência da velocidade da trinca com o seu comprimento. Apesar do tremendo aumento na sofisticação matemática da mecânica da fratura dinâmica, durante os 60 anos que se seguiram, o argumento de escalonamento de Mott, permaneceu essencialmente inalterado, como é evidenciado por Freund [45]. Contudo, continuou havendo uma dificuldade Um problema que ainda se apresentava [46,47] era o fato de nunca se observar experimentalmente trincas em materiais amorfos e frágeis que atingissem a velocidade limite das ondas de Rayleigh, conforme previsto pela teoria. Gilman e Hull [48-51], mostraram que toda dificuldade em se fazer esta constação, devido à complexidade do fenômeno, era mais aparente do que real. Pois no caso de trincas que se propagam ao longo de planos de clivagem de cristais frágeis, ou ao longo de interfaces fracas, observa-se que a velocidade de crescimento se aproxima à velocidade limiar das ondas de Rayleigh quase é atingida [48-51]. Isto é facilmente explicado pelo fato de que nestes casos a energia liberada por unidade comprimento, durante o crescimento da trinca, é constante, conforme mostrado nas previsões feitas por Hall em 1953 [51], contrário ao que acontece em outras observações efetuadas em materiais amorfos e polímeros frágeis. Nestes materiais, esta energia tende a aumentar com a velocidade de crescimento, em virtude do surgimento de microtrincas e/ou discordâncias [46,52-55]. Além disto, Irwin et al [25] mostraram que em materiais tais como: plásticos frágeis de PMMA, Homalito 100, etc, as trincas não são bem definidas como nos exemplos anteriores, mas surgem ramificações que se originam na trinca principal e se desvanecem no seio do material, formando um certo angulo em relação a trinca principal [31-34]. Posteriormente, Doyle, RaviChandar e Knaus [56, 57] mostraram que o aumento de energia está associado a formação destas ramificações. Por outro lado, nenhuma teoria da dinamica da fratura era capaz de fazer qualquer predição sobre a velocidade de uma trinca sem fazer uma presuposição sobre a energia por unidade de comprimento necessária para uma trinca se propagar. A maioria das equações dinâmicas supõe que esta quantidade é uma constante [31]. Contudo, os resultados experimentais indicam que esta suposição não é correta, ao contrário, a energia de fratura tende a aumentar com a velocidade. Por um longo tempo tem sido mostrado que trincas em polímeros frágeis com altos fatores de intensidade de tensão tendem a se ramificar, em ramos que se desvanecem subsequentemente no seio do material, deixando atrás uma série de curtas micro-trincas que formam um certo angulo em relação à trinca principal [26, 32-35]. Doyle 42

[36] e Ravi-Chandar e Knauss [37] mostraram que em plásticos frágeis de PMMA e Homalito-100, o aumento na energia de fratura está relacionado à geração de microtrincas logo abaixo da superfície de fratura. Destas considerações concluiu-se que um dos problemas fundamentais da dinâmica da fratura é a elucidação da causa do aumento abrupto no consumo da energia, após atingida a velocidade crítica em que sugem as microtrincas. Ou, por que a velocidade média de crescimento pára de aumentar quando o fluxo de energia para a ponta da trinca exede um limiar crítico. Isto foi evidenciado em por meio de simulações em computador por Liu e Marder [58-66]. Nestas simulações reproduziram aspectos do crescimento da trinca observados em experimentos efetuados em laboratório., além do esperado, pois previam Inclusive o fenômeno do aprisionamento da trinca na rede [67-69]. Entretanto este resultado apenas é aparente (ou enganoso), pois conforme demonstrado por Hauch [70] este fenômeno é característico da tri-dimensionalidade, não podendo portanto surgir na simulação bidimensional. Este fato é um alerta ao excesso de confiança mostrado por alguns pesquisadores nas técnicas de simulação em computador. Uma tentativa para responder a esta questão foi feita por Liu e Marder [37-42 ] no contexto do cálculo do crescimento de trincas em redes cristalinas. Usando modelos analiticamente solúveis, bem como em extensas simulações em computadores, mostrou-se que, quando o fluxo para a ponta da trinca ultrapassa um limiar crítico, surge uma instabilidade que aparece algumas vezes acompanhada de micro-trincas e outras vezes acompanhada de discordâncias [38-43]. Algumas das imagens produzidas por estas simulações são semelhantes às imagens obtidas experimentalmente para o PMMA passado o seu limiar de instabilidade [44, 45]. Os cálculos na escala atômica fizeram predições adicionais com melhor precisão. O mais impressionante é que segundo estes cálculos, deveria existir uma faixa de velocidade, rigorosamente entre 0% e 20% da velocidade das ondas Rayleigh, na qual um movimento estácionario de trinca seria impossível [40, 41], um processo também conhecido como aprisionamento na rede [46-48]. Hauch [ ] mostrou experimentamente, usando a técnica da queda do potencial elétrico que, para materiais cristalinos, este é um efeito tridimensional, e que este fenômeno do aprisionamento da rede não existe para materiais amorfos. Um outro tratamento teórico de interesse é o apresentado por Runde em 1994 [71] quando tratou do problema da instabilidade das trincas e da dissipação da energia. Utilizando um modelo de meio contínuo, mostrou que esta dissipação de energia por uma trinca é 43

semelhante à aquela que se verifica num flúido viscoso. Segundo este modelo, A instabilidade dinâmica está relacionada a um mecanismo de dissipação de energia, que ocorre em um regime caracterizado por um número de Reynolds suficientemente grande, de forma análoga ao que acontece em diversas situações na mecânica dos fluidos. Recentemente Slepyan em 1993 [72] propôs um Princípio de Máxima Dissipação de Energia, para explicar a relação entre a inatingibilidade da velocidade das ondas Rayleigh, a instabilidade e a formação dos padrões ramificados (microtrincas) na de dissipação de energia. Esta idéia, da existência de um princípio físico geral capaz de explicar estes fenômenos existentes na fratura, rupturas dielétricas, etc. é de consenso entre outros pesquisadores do assunto [73], e é uma estratégia que pretendemos adotar. Desta forma, as discrepâncias entre teoria e experimentos, que levam em conta a velocidade de crescimento de uma trinca, apenas foram explicadas por equações fenomenológicas para a dissipação. Até o presente momento nenhum mecanismo satisfatório para a dissipação foi proposto. O fenômeno da instabilidade de crescimento de trincas continua sendo um fenômeno obscuro, e segue-se a pesquisa procurando-se conhecer mais sobre os numerosos mecanismos de dissipação. A MFEC tem ampliado os horizontes da descrição da fratura em materiais por meio da descrição analítica do fenômeno da fratura e da simulação computacional que se estendem desde a descrição atômica até a descrição macroscópica. Contudo, na forma como é usada comumente na Engenharia de Materiais ela trata da descrição da fratura, da propagação e do crescimento de trincas sob os aspectos de tipos de entalhes, condições de carregamento, campo de tensões, distribuição de defeitos no material, etc. É importante observar que esta área da ciência utiliza basicamente duas abordagems clássicas, que se consolidaram com o tempo e com os resultados experimentais. Estas abordagens são: a energética originalmente proposta por GRIFFITH [1920] e a teoria elástica linear clássica desenvolvida por IRWIN [1957] e WESTERGAARD [1989] e outros [OROWAN 1948; MUSKHELISVILI 1954; BARENBLATT 1962]. Uma relação entre elas é feita pela integral G ou J (para materiais frágeis ou dúcteis respectivamente) desenvolvida por RICE [1968], que aparece tanto no formalismo da teoria elástica linear clássica, como no balanço energético de Griffith [GRIFFITH 1920; ATKINS 1985]. Sob este aspecto, a MFC está fundamentada nas grandezas que relacionam a área projetada(1) da fratura com as grandezas energéticas tais como: energia

1 A introdução da teoria fractal permite a consideração da área real da fratura ao invés da projetada, tornando a abordagem do problema mais autêntica, conforme será visto ao longo deste trabalho.

44

ou trabalho total de fratura, wof, energia efetiva de superfície, eff, taxa de liberação da energia elástica, G ou J, fator de intensidade de tensão, KI,II,III, (I, II, III, são os três modos de carregamento fundamentais) etc. Estas grandezas são admitidas como sendo independentes da velocidade de crescimento da trinca. Portanto, estas abordagens situam-se no campo da fratura elástica linear, em regime de fratura estável ou quase-estática. Uma terceira abordagem da MFEC se encontra no campo das simulações em computador feitas por métodos numéricos de diferenças finitas, elementos finitos, etc. [ANDERSON 1995] que não deixa de ser um modelo mesoscópico. Existem também modelagens computacionais na escala atômica ou molecular (microscópica).

4.5.2 - A Teoria Dinâmica da Fratura Instável (ou Catastrófica) Clássica Em primeiro lugar é preciso distinguir a Teoria Dinâmica da Fratura Instável (ou Catastrófica) Clássica- TDFIC daquela que é estudada através dos ensaios cíclicos de fadiga. A TDFIC inclui altas taxas de deformação e também a influência da velocidade de crescimento da trinca no cálculo das grandezas energéticas clássicas, estendidas para o caso dinâmico, sendo o impacto e a possível fragmentação um caso limite deste [KANNINEN 1985; ÅSTRÖM 1977; HORNIG 1996]. Tal abordagem, se encontra descrita nos livros textos de KANNINEN [1985] e de FREUND [1990]. Estabelecendo-se um paralelismo entre a MFEC e a TDFIC (vide o quadro resumo na Tabela - II.1), observa-se a existência de duas abordagens para a dinâmica da fratura, análogas àquelas mencionadas na secção - 2.2.1. A primeira, é aquela descrita por modelos elastodinâmicos não-lineares, também chamada de teoria elástica não-linear. Nela a velocidade da trinca é levada em consideração, sendo uma extensão da teoria elástica linear desenvolvida por WESTERGAARD [1939]. Trabalhos importantes nesta área, relacionados à dinâmica da fratura, tem sido desenvolvidos por IRWIN [1948] e FREUND [1972a, 1972b, 1973, 1974] e FLETCHER [1975]. A segunda, é a abordagem termodinâmica, que corresponde paralelamente a uma extensão dos trabalhos de Griffith [ANDERSON 1995], feita por MOTT [1947], DULANEY e BRACE [1960], CHEREPANOV [1967], NIKOLAEVSKIJ [1982, 1987] e outros. Extensões análogas, àquela mencionada na secção 2.2.1, da integral G ou J de Rice, que conecta estas duas abordagens citadas acima, isto é, a elastodinâmica e a termodinâmica, para o caso de crescimento instável, também se encontram registradas na literatura [KANNINEN 1985; FREUND 1990; ANDERSON 1995]. Houveram 45

diferentes tentativas de se estender a integral G ou J de Eshelby-Rice para o caso elastodinâmico contudo, a mais geral e portanto a mais importante extensão da integral G ou J [RICE 1968; KANNINEN 1985, ANDERSON 1995] para o caso de fratura dinâmica tem sido feita por FREUND [1972 a, 1972b, 1973, 1974, 1990] e FLETCHER [1975]. Tabela - IV. 1. Quadro comparativo da mecânica da fratura quase-estática e dinâmica com os seus principais avanços matemáticos. (Campos não divididos são comuns às duas abordagens)

MECÂNICA DA FRATURA Fratura Quase-estática ou Estável Dinâmica da Fratura ou Instável (MFEC) (TDFIC) Fractografia e Caracterização Fractal Teoria Elástica Linear Teoria Elastodinâmica Não-Linear Integral G ou J de Eshelby-Rice Teoria Termodinâmica de Griffith Teoria Termodinâmica de Nicolaesvsky Critério de Instabilidade de Nguyen-Slepyan Métodos de Simulações em Computador: Numérica por Diferenças Finitas, Atomística e Dinâmica Molecular Teoria dos Sistemas Não-Lineares e Teoria do Caos Deterministico De forma análoga a secção - 2.2.1, a TDFIC está fundamentada nas grandezas que relacionam a área projetada da fratura com as grandezas energéticas, (estendidas para o caso dinâmico), tais como, K(I, II, III) D, GD, etc. Neste caso porém, estas grandezas, possuem uma forte depedência com a velocidade de crescimento da trinca. A TDFIC portanto, envolve altas taxas de liberação de energia elástica armazenada e se estende num âmbito entre a fratura quase-estática e o estudo de impacto propriamente dito. Continuando o paralelismo com a MFEC, uma terceira abordagem dinâmica para o processo de fratura, se encontra no campo das modernas simulações em computador [MARDER 1993a e 1993b, 1994], feita pelos modelos atomísticos [ABRAHAM 1994; GUMBSCH 1995] e de Dinâmica Molecular [GUMBSCH 1996 e 1997]. Esta abordagem, leva em conta os aspectos físicos de primeiros princípios existentes na fratura (considerações de interação em escala atômica ou molecular). Ela se preocupa em descrever tanto o processo de fratura estático quanto dinâmico. Considera-se juntamente com a fratura o aparecimento de vários fenômenos decorrentes deste processo, tais como, o movimento de discordâncias, instabilidades dinâmicas, emissão sonora, emissão de radiação, etc. Tais fenômenos tem sido atualmente estudados dentro do âmbito da Dinâmica Não-Linear e da Teoria do Caos [MOHAN 1994]. Neste sentido o processo de fratura tem sido tratado de forma análoga aos Sistemas Dinâmicos Não-Lineares da Física [TAN 1995]. 46

Percebe-se nos parágrafos anteriores a descrição paralela de três tipos de abordagem diferentes da fratura, tanto para o caso estático como dinâmico, em que uma busca complementar o conhecimento da outra (vide o quadro da Tabela - II.1 acima). Portanto um estudo moderno da fratura deve envolver aspectos interdisciplinares entre a Física e a Engenharia de Materiais.

47

Capítulo - V INTRODUÇÃO A TEORIA CLÁSSICA DA MECÂNICA DA FRATURA

RESUMO

5. 1 - Introdução

48

5. 2 – Teoria Microscópica da Resistência dos Materiais Nós agora estamos interessados em saber quão forte e resistente é um material? E quais os principais fatores que influenciam fundamentalmente nesta resistência, ou seja, a resistência mecânica de um material é função de quais parâmetros? Podemos responder a primeira pergunta acima dizendo que um material será tão forte quanto for forte e resistente as suas ligações químicas entre os átomos ou moléculas de sua estrutura. Desta forma nós recorremos a teoria das ligações químicas para descrever a resistência teórica dos materiais. Nós sabemos da Física dos Sólidos que os componentes de um dado material são unidos por uma força de coesão resultante de uma parte atrativa e outra repulsiva entre os seus átomos ou moléculas da seguinte forma: U 

e2 B  n , 4 0 r r   repulsão

(5. 1)

atração

onde, U é a energia total de coesão, e é a carga eletrônica, r, é a distância entre os íons,  0 é permitividade elétrica do vácuo, B é uma constante de repulsão e n  10 é o expoente de repulsão. Graficamente esta energia U é dada por:

Figura - 5. 1. Gráfico da energia potencial de coesão das partículas estruturais de um material.

Através desta curva explicaremos a expansão térmica e o ponto de fusão dos 49

materiais. Porque o poço de energia com altura Emin está relacionado com a energia de fusão do material. Pois quanto mais fundo o poço maior será o ponto de fusão do material. Usando a relação de Boltzmann para os três graus de liberdade de vibração dos átomos ou molécula de um material sólido nós temos

1 kT para cada grau de liberdade. Portanto, 2 Emin 

3 kT fusão , 2

(5. 2)

Portanto, uma medida brusca da temperatura de fusão de um material é dada pela altura do poço de energia. T fusão 

2 Emin , 3 K

(5. 3)

onde, k  1,308 1023 J / K é a constante de Boltzmann. Como calcular a força de ligação? Mas a força de coesão das partículas estruturais esta relacionada com a energia potencial de coesão mda seguinte forma:

 F  U ,

(5. 4)

 dU , F  dr

(5. 5)

ou

logo derivando a expressão ( ) temos: U

e2 nB  n 1 , 2 4 0 r r

Graficando esta expressão nós temos:

50

(5. 6)

Figura - 5. 2. Gráfico da força de coesão das partículas estruturais de um material.

Para efeito de ensaios mecânicos nós devemos graficar não a força versus distância interatômica ou intermoleculares, mas a tensão que é força por unidade de área versus distância interatômica ou intermolecular. Pois estamos interessados em comparar a teoria fundamental das ligações químicas com a fenomenologia da causa efeito e efeito. Num ensaio de tração existe uma força tal que aplicada ao material é suficiente para romper as ligações químicas o valor desta força está relacionado com a resistência do material e ela mede exatamente a tensão de ruptura. Teoricamente os materiais não se rompem por compressão pura, mas eles se rompem por cisalhamento que mudam a direção da força de compressão para uma direção favorável a ruptura.

51

5.2.1 – Tensão de Ruptura dos Materiais É a tensão  T de um corpo necessário para separá-lo em duas partes, ou seja, de forma a romper todas as ligações químicas que as une.

Figura - 5. 3. Gráfico da tensão de coesão das partículas estruturais de um material.

Figura - 5. 4.

52

5.2.2 – Resitência Teórica dos Materiais Cerâmicos Baseado no que foi descrito até aqui, nós podemos perguntar

Qual é a resistência teórica dos materiais?

É possível calcular a resistência teórica fazendo uso de uma aproximação matemática sobre o gráfico da

Figura - 5. 5. Modelo aproximado para o gráfico da tensão versus distância interestrutural..

Esta curva pode ser associada com a função seno para podermos dar um modelamento matemático da resistência dos materiais e calcular qual é a tensão de ruptura. Neste modelo nós aproximaremos a tensão   r  por uma função seno. Mas nós sabemos que um material se rompe por tração ou cisalhamento e não por compressão, porque neste último caso ele se deforma sem romper. Logo devemos graficar    em vez de   r . Sendo que a nível microscópico  é dado por:



r  r0 , r0

53

(5. 7)

Figura - 5. 6. Gráfico de

 

para o modelo senoidal.

Considerando um corpo de área transversal unitária, a força de coesão entre dois planos varia com a distância interatômica, conforme mostra a . Parate desta curva pode ser aproximada pela relação:

   r  r0      coesão sen  ,  /2 

(5. 8)

 2  r  r0      coesão sen  ,   

(5. 9)

ou

Usando ( ) em ( ) temos que:  2 r0     coesão sen  ,   

(5. 10)

x  r  r  r0  r0 ,

(5. 11)

chamando de:

a distância a partir da posição de equilíbrio das partículas estruturais do material. Nós temos que: para:

54

x  0  0 x   / 4     coesão ,

(5. 12)

x   /2  0

No caso de pequenos deslocamentos x em torno da posição de equilíbrio r0 , isto é,

x  r0 nós temos que a parte inicial da curva válida a seguinte aproximação.  2 r0  2 r0 sen    ,   

(5. 13)

Portanto, a expressão ( ) fica:

   coesão

2 r0 , 

(5. 14)

chamando de E0 o módulo elástico do material como sendo a grandeza E0   coesão

2 r0 , 

(5. 15)

A expressão ( ) é a expressào da Lei de Hooke onde temos:

  E0 ,

(5. 16)

ou

  E0

r , r0

(5. 17)

O que corresponde a aproximar a curva na parte inicial da Fig por uma reta para pequenos deslocamentos x em torno da posição de equilíbrio r0

55

Figura - 5. 7. Aproximação da parte inicial da curva

 

 r  r0    E0  ,  r0 

pela Lei de Hooke.

(5. 18)

Observe que se não fosse feito a aproximação o módulo elástico E0 definido pela lei de Hooke não seria constante e dependeria do deslocamento  da seguinte forma. Calculando E    pela tangente a cada ponto da curva isto é pela derivada em relação  da expressão ( ): E   

d 2 r0  2 r0   coesão cos  d   

 , 

(5. 19)

ou E E     E0 cos  0  t

 , 

(5. 20)

onde E0 corresponde a expressão ( ) isto é: E0 

2 r0  coesão , 

(5. 21)

Mas que ainda assim não corresponderia a uma expressão exata do que acontrece na realidade com os materiais, pois a curva de tensão x deformação é muito diferente de ( ) para deslocamentos muito grandes conforme mostra a 56

Figura - 5. 8. Curvas de tensão deformação para um material frágil e dúctil.

57

5. 3 – Critérios Fenomenológicos de Fratura Vejamos agora como se comporta o rompimento de um corpo com a presença de trincas. Porque existe esta diferença entre o valor da resistência teórica experimental.

5.3.1 - Estudo Fenomenológico das Trincas Considere dois corpos cilíndricos idênticos A e B sujeitos ambos a uma mesma solicitação de tração . Supondo que o corpo A possui secção transversal de área S e o corpo B possuem a mesma secção transversal, porém com um entalhe ou trinca na metade do seu comprimento, rodeando todo o corpo de formato cilíndrico, conforme mostra a Figura - 5. 9.

Figura - 5. 9. Ensaio de Tração em dois corpos idênticos a) sem entalhe ou trinca b) com entalhe ou trinca.

Nesta figura as tensões de ruptura dos mcorpos A e B são respectivamente  A e  B . Nós queremos saber se  A é igual a  B , porque a redução da área da secção transversal do corpo de prova B implica em uma redução proporcional na força necessária para romper o material? Nós sabemos que a tensão é dada por:



F , S

(5. 22)

Seja  A a resisatência do corpo A dada por:

A 

FA , SA

(5. 23)

onde FA é a força necessária para romper o corpo A e S A  S é a área do corpo A sob 58

solicitação. Seja  B a resisatência do corpo A dada por:

B 

FB , SB

(5. 24)

onde FB é a força necessária para romper o corpo B e S B  S é a área do corpo A sob solicitação. A princípio se poderia pensar que a força necessária para romper o corpo A é maior do que a força necessária para romper o corpo B. Pois sendo as áreas sob solicitação diferentes S A  S B , na mesma proporção nós teríamos que  B   B , e, portanto a resistência do corpo não dependeria das suas condições físicas (sob entalhe ou não). Mas isto não é verdade, pois a força necessária para romper o corpo A é maior do que a força necessária para romper o corpo B, porém o entalhe no corpo B reduz a energia que deve ser empregada para romper este corpo, por causa dele algumas ligações químicas já foram quebradas e alguma energia de superfície já foi liberada na formação do entalhe. Portanto, a energia que ainda está contida no corpo A é maior do que a que está contida no corpo B. UA  UB ,

(5. 25)

mas na região de ruptura podemos escrever: U A   AV A ,

(5. 26)

U B   BVB ,

(5. 27)

e

os volumes VA e VB são considerados iguais pois eles são volumes aparentes e não se faz distinção entre os corpos A e B a não ser pelas trincas. Portanto, substituindo ( ) e ( ) nem ( ) temos:

 AVA   AVB ,

(5. 28)

 A B ,

(5. 29)

Então

Como as tensões são uma medida da densidade de energia, nós podemos dizer que 59

para a ruptura o corpo A precisa-se concentrar mais energia por unidade de volume do que para o corpo B. Como os corpos são do mesmo material nós podemos concluir que já existe um efeito latente de concentração de energia no corpo B para compensar a diferença entre os valores de  A e  B . Pois o valor de  A corresponde ao que seria o valor teórico da resistência do corpo B. Este efeito de concentração de energia se dá pela força aplicada e pela área atravessada por esta força no ponto de ruptura do corpo. Portanto, nós podemos dizer que o efeito de concentração latente de energia no corpo B se dá pela concentração das linhas de força na área do entalhe sob tração conforme mostra a Fig.

Figura - 5. 10. Trincas ou entalhe atuando como concentradores de tensão.

Pois para uma mesma força F aplicada igualmente nos dois corpos a tensão é maior para o corpo B na região do entalhe. Fazendo com que se necessite de menos energia para romper o corpo B na quela região do que o corpo A, conforme já foi visto antes. Desta forma nós podemos dizer que na região considerada:

 A B ,

(5. 30)

devido aos concentradores de tensão na broda do entalhe. Pois as trincas, os entalhes e os cantos vivos atuam ou funcionam como concentradores de tensão, conforme mostra a Fig.

60

5.3.2 - Critério de Fratura dos Materiais

61

5.3.3 - O Campo de Tensão ao Redor de uma Trinca Elíptica

Figura - 5. 11. Campos de tensão em torno de uma trinca elíptica, usado na descrição do modelo de Inglis.

62

5. 4 - Fundamentos da Teoria da Elasticidade A teoria da elasticidade estuda o comportamento mecânico de um material em relação a solicitação de carga ou força externa, sob o ponto de vista da deformação elástica reversível, até o limiar da fluência ou ruptura. Esta teoria possui seu suporte fundamental na lei de Hooke.

5.3.1 - O comportamento mecânico dos sólidos O comportamento mecânico para os materiais sólidos, no que diz respeito a deformação, é dividido em frágeis e dúcteis (

Figura - 5. 12). Os frágeis, são aqueles que

se rompem logo após o fim do seu limite elástico, não apresentando quase nenhuma deformação plástica (processo reversível).

Figura - 5. 12. Comportamento típico da tensão x deformação dos materiais frágéis e dúcteis.

A lei de Hooke diz que, de acordo com a

Figura - 5. 12 e a

Figura - 5.

13, um material, dentro do seu limite elástico linear, atuado por uma força, F, ou tensão, , apresentará uma deformação dada por:

  E ,

(5. 31)

onde  = F/A é a tensão aplicada e A é a área da secção transversal do corpo sob ação da força F. E é o módulo elástico do material. O alongamento percentual ou deformação é dada por:  = l/l, conforme mostra a

Figura - 5. 13. 63

Figura - 5. 13. Distensão máxima das ligações químicas de um material antes de se romper, mostrando o tamanho crítico mínimo, lo, a partir do qual a ruptura acontece, segundo o modelo de Griffith para um monocristal. Figura adaptada a partir da original contida em MARDER [1996].

A partir da relação (5. 31), percebe-se que um material frágil ideal apresenta rigidez constante até a ruptura, enquanto que o dúctil não. Isto significa que, a separação entre os planos cristalinos do material frágil ideal se dá continuamente, sem que ocorra quase nenhum acúmulo de defeitos na forma de discordâncias ( Figura - 5. 13). Os materiais dúcteis, por outro lado, são aqueles que após o limite elástico apresentam deformações plásticas por meio de discordâncias na rede cristalina, acumulando defeitos e se rompendo após o encruamento (processo irreversível,

Figura - 5. 12). De

acordo com a teoria do encruamento (hardening) a relação entre a tensão, , e a deformação,

, é dada por:

   ref

 p    ref

m

  , 

(5. 32)

onde:

ref é a tensão inical e ref é a deformação inicial, p é a deformação plástica do material e m, é um expoente fracionário. Observe que a relação (5. 32), mostra o termo em potência, que pode ser relacionada a uma auto-similaridade com a escala da deformação, ref, que afeta o aspecto microestrutural da superfície de fratura. Será mostrado, no modelamento fractal da superfície de fratura no Capítulo – IV, que este fato está relacionado com a rugosidade desta superfície, devido a auto-similaridade fractal onde o expoente de encruamento, m, estará relacionado com a dimensão fractal, D, da mesma. Porque o material encrua antes de abrir uma trinca rugosa. 64

A partir da relação (5. 32), percebe-se que no caso do material dúctil, tanto a tensão de fratura, f, como a rigidez, E, passa a depender da presença, ou não, deste acúmulo de defeitos microscópicos.

5.4.2 – Determinação da rigidez e da flexibilidade de um material Existem diferentes métodos experimentais para se determinar a rigidez ou a flexibilidade de um material. A

Figura - 5. 14 apresenta uma montagem experimental

que pode ser usada para determinar a rigidez por meio da equação (5. 33) [DOS SANTOS 1999] abaixo.

S3  X  E  , 4w3e  u 

(5. 33)

onde S é a separação dos cilindros de apoio, w é a largura do corpo de prova, e é a sua espessura, X é a carga aplicada e u é a sua deflexão do ponto de aplicação da força na direção vertical.

Figura - 5. 14. Montagem experimental do ensaio de flexão a três pontos com entalhe plano.

Até o limite de ruptura, o valor da rigidez do material pode ser calculado pela equação (5. 33), conforme mostra na

Figura - 5. 12. Caso ocorra um crescimento de

trinca acima deste limite máximo de carga tolerável pelo material, o valor da equação (5. 33) passa a representar a flexibilidade do material ao invés do seu módulo elástico. Para materias frágeis, ou até mesmo dúcteis, a relação (5. 31) é muito útil, porque ela constitue a base da mecânica da fratura elástica linear, conforme será visto a seguir.

65

5.4.3 - A energia elástica armazenada em um sólido Considere um corpo tracionado continuamente até o limite da sua ruptura, conforme mostra a

Figura - 5. 13. A energia de deformação total armazenada em um

material até este limite é dado pela área debaixo da curva mostrada na

Figura - 5. 12, isto

é, pela integral da curva,  x E, ou seja: 

u ( )    ( ) d .

(5. 34)

o

Embora existam diferentes comportamentos mecânicos, conforme mostra a Figura - 5. 12, é interessante, a princípio, entender o mais simples deles, que corresponde a um material frágil que segue a “lei elástica de Hooke”. Para este material frágil, pode-se supor que o corpo responde a solicitação externa de acordo com a equação (5. 31). Portanto, substituindo a expressão (5. 31) em (5. 34) tem-se que a energia de deformação elástica total armazenada em um material frágil, até o limite de sua ruptura, calculada pela lei de Hooke, é dado por: 



E 2 , u ( )   Ed  2 o 0

(5. 35)

reescrevendo (5. 35) em termos de (5. 31) tem-se:

2 u ( )  . 2E

(5. 36)

Considerando o corpo totalmente distendido até o limite máximo de sua resistência mecânica, tem-se que a tensão máxima de alongamento corresponde a tensão de fratura do material, f. Logo, para o caso da fratura elástica linear (material frágil ideal), de acordo com a lei de Hooke, dado em (5. 31), tem-se:

 f  E max ,

(5. 37)

onde, f, é o módulo de ruptura ou a tensão de fratura(2) (para materiais frágeis), E é o seu módulo elástico, máx é o alongamento máximo do corpo em relação ao seu comprimento

2

limite de ruptura

66

inicial. De acordo com a

Figura - 5. 12 para os materiais frágeis, a integral é calculada

susbtituindo-se (5. 37) em (5. 36) e obtendo-se a energia de deformação elástica total por unidade de volume que pode ser armazenada no corpo antes que ele se rompa, fornecendo

uf 

f2

(5. 38)

.

2E

Para um corpo de volume, Vc, tem-se que a densidade volumétrica de energia é dada por::

u

dU , dV

(5. 39)

Logo, substituindo-se (5. 38) em (5. 39) tem-se:

Uf 

 f2 2E

(5. 40)

Vc .

Esta é a quantidade máxima de energia por unidade de volume que um corpo pode armazenar, desde que se considere que este é formado por um material idealmente frágil, como uma cerâmica, por exemplo.

5.4.4 – A variação da flexibilidade de um material durante a fratura Observando o gráfico da

Figura - 7. 5 e

Figura - 5. 15, percebe-se

que a energia elástica armazenada (dado pela área sob o gráfico) aumenta para manter o mesmo nível de tensão no interior do corpo de prova, cujo tamanho do defeito, Lo, continua aumentando durante o ensaio. Como fica então a variação da energia elástica armazenada no corpo, UL, com o aumento no tamanho do defeito? Ou seja, o que acontece com a energia elástica armazenada no corpo (material frágil) quando uma trinca cresce?

67

Figura - 5. 15. Gráfico do comportamento da deformação do corpo,  =l/l em função da tensão externa aplicada, ext .

De acordo com a expressão ( ) a variação na energia elástica armazenada, UL, depende das grandezas, , Lo, e E. Considerando que, f, se mantém constante, resta apenas analisar a influência desta variação na energia elástica armazenada, na rigidez ou na flexibilidade do material. Ao se aplicar uma tensão, , sobre um material que já possue uma trinca de tamanho Lo, se a energia fornecida for suficiente para produzir um aumento na trinca, observa-se que a rigidez E, ou a flexibilidade, do material diminuirá com o aumento no tamanho do defeito. Veja o exemplo da

Figura - 7. 3 e Figura - 5. 16.

Figura - 5. 16. Corpos A e B de mesmo material e sujeitos as mesmas condições de carga. A) sem entalhe B) com entalhe.

68

Figura - 5. 17. Comparação dos carregamentos entre os corpos A e B identicos conforme a Figura - 5. 16.

Considere o exemplo da Figura - 5. 16, onde dois corpos idênticos de mesmo material são submetidos a mesma condição de ensaio. Porém, o corpo A não possui entalhe, enquanto o corpo B já o possui. Veja, a partir do gráfico da

Figura - 5. 17, que o corpo

B possui um rigidez, E, menor do que o corpo A e ainda uma maior deformação. Logo, a energia elástica armazenada em B deve ser maior do que no corpo A, para o mesmo nível de tensão (tensão constante). Comparando-se as áreas dos triangulos na Figura - 5. 17 tem-se que:

OP1Q1  OP2 Q2 ,

(5.41)

U LA  U LB ,

(5.42)

12 12  , 2 E A 2 EB

(5.43)

E A  EB .

(5.44)

logo

ou seja

portanto

Por outro lado, quando o material está sujeito à transformações de fase, ou microtrincas, geradas na ponta da trinca principal durante o ensaio, existe ainda uma deformação residual, que não foi considerada nesta argumentação. 69

5.5 - Introdução a Teoria Clássica da Mecânica da Fratura Partindo do princípio que os materiais são compostos de átomos ou moléculas, que se mantém unidas por meio de ligações químicas, a fratura, nada mais é do que o processo mecânico de quebra destas ligações mantendo-se, até certo ponto, inalterada as propriedades químicas do material. Logo, a primeira pergunta que surge no estudo da fratura é:

Por que os corpos se rompem? Conhecendo-se a estrutura da matéria podería-se dizer que, os corpos se rompem porque, em um esforço mecânico, fornece-se a ele energia maior do que a energia das ligações químicas que mantém os átomos unidos, fazendo com que estas se rompam entre si abruptamente (

Figura - 5. 12 e a

Figura - 5. 13).

É necessário lembrar que, de acordo com a teoria da elasticidade, para ocorrer a quebra das ligações químicas em um corpo, geralmente, este acumula energia elástica antes da sua ruptura. Isto significa que, na ruptura a energia por unidade de volume que se oferece ao corpo, por meio do esforço mecânico, é maior ou igual do que a sua capacidade volumétrica de armazenar esta energia. Portanto, definindo-se a densidade volumétrica de energia imposta ao material como sendo dado por (5. 39), a partir da teoria da elasticidade, aplicada a escala atômica, é possível encontrar uma expressão matemática geral, capaz de fornecer a tensão de ruptura teórica dos materiais sólidos, substituindo-se uf = e/2ao em (5. 38), obtendo-se: 1/ 2

 teo

 E    e   ao 

,

(5. 45)

onde ao é o parâmetro de rede do material e e é a sua energia de superfície específica. Observe que este simples modelo não leva em conta as irregularidades, ou defeitos, encontrados na microestrutura do material tais como: discordâncias, inclusões, vacâncias, etc. Para um material cristalino perfeito, poderia-se relacionar diretamente a seu alongamento máximo com a porcentagem na qual este material distende suas ligações químicas antes de se romper, (vide Figura - 5. 12 e

Figura - 5. 13), ou seja, máx =

ao/ao (onde ao é o parâmetro de rede do cristal). Portanto neste caso, a relação entre o módulo elástico, E, e a tensão de fratura, f, deveria ser direta, a menos de uma fator de alongamento, máx, que depende de cada material [MARDER 1996], conforme mostra a equação (5. 37). Contudo, os materiais apresentam defeitos que produzem diferenças entre as 70

elongações microscópicas, dadas por:  = ao/ao, e as macroscópicas, dadas por:  = l/l, isto é: ao l  , ao l

(5. 46)

onde l ;e o comprimento do corpo de prova, o que faz com que na prática, os valores previstos teoricamente pela expressão (5. 45), não correspondam à aqueles medidos experimentalmente. Isto significa que, os defeitos nos materiais têm uma importância fundamental na sua ruptura. Este fato ocasionou todo o desenvolvimento da mecânica da fratura que se conhece até hoje. Através da teoria da elasticidade, é possivel também prever a velocidade com que ondas elásticas se propagam livremente em um material cristalino perfeito, considerando-se o modelo do sólido harmônico. Esta velocidade é dada pela seguinte razão:

E c R ~   

1/ 2

,

(5. 47)

onde E é o módulo elástico e  é a densidade do material. Esta velocidade, no caso da fratura, corresponde a velocidade máxima de crescimento das trincas no meio, quando a taxa de energia elástica liberada não depende mais do comprimento da trinca. Ela é também chamada de velocidade das ondas Rayleigh no material. Um outro problema porém, é que esta situação ideal nunca foi observada na prática. Mesmo para materias idealmente frágeis, ocorrem efeitos de instabilidade que influenciam no crescimento das trincas, como será visto nos Capítulos – VII e VIII. Este é também um dos problemas a serem abordados neste trabalho, e constitue a base do desenvolvimento da teoria elastodinâmica da fratura até os dias de hoje. Se nenhum material frágil apresentasse defeitos microestruturais, o modelo como está apresentado até aqui estaria ótimo e explicaria tudo o que acontece com os materiais que seguem a teoria elástica linear. Mas isso não se verifica na prática, o que tornou necessário criar um modelo que levasse em conta a presença dos defeitos, conforme será visto a seguir.

5.5.1 - A teoria de Inglis para a fratura e a sua abordagem dos concentradores de tensão Inglis em 1912-1913 [INGLIS 1913] foi o primeiro a considerar os defeitos presentes em um material, para explicar a discrepância entre os valores experimentais e 71

teóricos da resistência mecânica dos materiais à fratura. Ele utilizou um modelo de uma trinca elíptica, passante, no centro de uma placa, plana e infinita, sujeita a uma tensão externa, ap, conforme mostra a Figura - 5. 18. Em seu modelo, Inglis imaginou que um defeito como este, no centro de uma placa plana (Figura - 5. 18), deveria ser sufuciente para retratar os principais problemas existentes em uma fratura. Entretanto, para explicar sua argumentação, ele considerou que a placa se comportava como um meio contínuo sólido e elástico. Fora percebido por ele que, em resposta à tensão externamente aplicada, deveria haver um campo local de deformações elásticas, com diferentes valores de tensão ao redor do defeito. A presença deste defeito deveria ser, portanto responsável pela concentração das linhas de força nas extremidades do mesmo, de forma análoga as linhas de corrente ao redor de um obstáculo imerso em um fluido.

Figura - 5. 18. Campos de tensão em torno de uma trinca elíptica, usado na descrição do modelo de Inglis.

5.5.2 – A geometria da zona de acúmulo de tensão A partir da trinca elíptica, Inglis observou que a zona de processo onde ocorre o maior acúmulo de tensões, ao redor do defeito(3) conforme mostra a Figura - 5. 19.

3

na forma de um cardióde para tensão plana e na forma de leminscata para deformação plana

72

Figura - 5. 19. Zona de processo eliptica ao redor do defeito, em cujo volume está armazenada a energia elástica de deformação.

Utilizando relações geométricas para o seu modelo elíptico, onde a  y   ap [1  2 ] , b

(5. 48)

E sabendo que 1/ 2

a a   b r

2

a a b a      , r b r b

(5. 49)

então r

b2 , a

(5. 50)

Como neste caso a  Lo , Inglis encontrou o resultado para o cálculo do campo de tensões na ponta da trinca, dependente do seu raio de curvatura, r, (

Figura

-

5.

20)

e

de

seu

comprimento, Lo, cuja expressão matemática é dada por: 1/ 2

L   y   ap [1  2  o  ] ,  r 

(5. 51)

onde:

 y : é a tensão na ponta da trinca. ap : é a tensão aplicada externamente, nas extremidades da placa.

a : é o semi-eixo maior da elipse que corresponde a metade do comprimento da trinca, ou seja, a  L0 . 73

b : é o semi-eixo menor da elipse, valendo a relação r  b 2 / a  b 2 / L0 .

Figura - 5. 20. Modelo de Inglis para os defeitos concentradores de tensão

Como conseqüência de sua idéia fundamental Inglis sugeriu que os defeitos, presentes no interior (microestrutura) dos materiais, atuam como concentradores das linhas de força, sendo os responsáveis pela amplificação das tensões internas acumuladas ao seu redor. Inglis definiu portanto o fator de concentração de tensão, Kt, da seguinte forma:

K ty 

y ap

 [1  2(

Lo 1/2 ) ]. r

(5. 52)

Observe que, de acordo com o desenho da Figura - 2.6, para o caso em que a trinca é circular, tem-se que r *  L0c  b * , logo a tensão aplicada, ap , é igual a tensão de fratura, ap   f , e o fator de concentração de tensão, de acordo com (5. 52), é igual a três unidades K ty 

  3. ap

74

5.6.3 - O critério de fratura de Inglis Inglis calculou qual deveria ser o valor da tensão máxima amplificada, máx, presente na placa tendo em vista que as linhas de força se concentravam na ponta da trinca (elipse), no limite quando esta se torna infinitamente alongada (raio de curvatura tendendo a zero, r  0). Ele encontrou que: 1/ 2

L  y  max  ap 2  o  r 

,

(5. 53)

logo percebe-se que para uma trinca fina, isto é, r  0, o fator de concentração de tensão, Kt, tende a infinito (Kt  ) e a tensão aplicada, ap, que corresponde a tensão de fratura do material, f, tende a zero (ap = f  0). Nestas condições o material tende a possuir uma resistência mecânica, f, desprezível. Contudo, a tensão máxima, max, que um material pode suportar na ponta da trinca corresponde a sua tensão de ruptura teórica, teo, dada por (5. 45), isto é, max = teo. Logo, o valor de Kt, neste caso, passa a ser dado por um valor crítico:

 L  K tc  teo  2 oc   ap  r*

1/ 2

,

(5. 54)

e o material se rompe. A partir da equação (5. 54), observa-se que segundo o modelo de Inglis os defeitos amplificam internamente a tensão aplicada externamente, pela concentração das linhas de força ao seu redor, fazendo com que o material se rompa a uma resistência mecânica menor do que aquela prevista pela teoria da elasticidade para o sólido cristalino. Desta forma, Inglis estabeleceu o primeiro critério de fratura de que se tem notícia. Se pensarmos em termos de taxa de energia elástica liberada a expresão (5. 53) pode ser reescrita da seguinte forma: L  2 2  max   ap 4 o  ,  r 

(5. 55)

ou multiplicando os dois lados pelo módulo elástico e por  temos: 2

2  max  r   ap Lo ,   E  4 E

(5. 56)

definindo a taxa de energia elástica liberada como sendo G   ap2 Lo / E temos que a taxa de 75

energia elástica liberada na ponta da trinca é dada por: G

2  max r  , E 4

(5. 57)

ou seja, a taxa de nergia elástica microscópica conta com com o aumento da tensão na ponta da trinca, enquanto que se considera um valor de variação do comprimento da trinca é muito menor na escala microscópica. Um outro critério de fratura foi postulado por Irwin, considerando que a ruptura ocorre quando máx da equação (5. 53) for igual a tensão teórica da equação (5. 45). Portanto,

 teo   max ,

(5. 58)

ou 1/ 2

 E e     ao 

L   2  o   r 

1/ 2

,

(5. 59)

Loc .

(5. 60)

ou

2 e E  2

2ao f r

Observe, no lado esquerdo de (5. 60), a presença de uma grandeza que não depende do comprimento crítico da trinca. Esta é uma propriedade da fratura que será discutida mais adiante. Logo, a tensão de fratura, f, nestas condições é dada por: 1/ 2

 rE e    f   4 a L  o oc 

,

(5. 61)

o qual é chamado de critério de Irwin para o crescimento da trinca. Observe de (5. 61) que a densidade de energia, dada em (5. 38), pode ser escrita como:

f2 r  e    . 2 E 8ao  Loc  Reescrevendo a equação (5. 61) da seguinte forma:

76

(5. 62)

 f 2 Loc  r   2 e  . 2E  16ao 

(5. 63)

Observe que existe um termo que entre parêntesis existe um termo que envolve uma medida relativa do raio de curvatura da trinca em relação a algum comprimento característico, ao que no caso pode ser o parâmetro de rede ou em situações de material não cristalino o valor de ao pode ser um comprimento mínimo de trinca se considerarmos um raio de curvatura mínimo dado por

r  16a0 .

(5. 64)

Esta consideração será útil na correção da equação de Inglis e Griffith quando se considera uma trinca rugosa de raio de curvatura definido.

77

5. 6 – Abordagem do Campo de Tensão Elástica

78

Capítulo - VI FUNDAMENTOS DA TEORIA ELASTOSTÁTICA CLÁSSICA DO CRESCIMENTO ESTÁVEL (OU QUASE-ESTÁTICO) MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTICA LINEAR PARA O CAMINHO LISO E aconteceu que, acabando ele de falar todas estas palavras, a terra que estava debaixo deles se fendeu (Nm 16,31)

RESUMO Neste capítulo, é feito uma breve revisão bibliográfica dos principais avanços matemáticos alcançados pela Mecânica da Fratura Clássica (MFC) ao longo das décadas, sem levar em consideração a questão da rugosidade da superfície de fratura. Para isto a MFC será tratada nas suas duas áreas: a Mecânica da Fratura Estável e a Mecânica da Fratura Dinâmica ou Dinâmica da Fratura. Em primeiro lugar, será feita uma breve introdução a teoria da elasticidade, com seus principais resultados. Em seguida, será feita uma revisão da mecânica da fratura em si, e por último, uma abordagem rápida sobre a teoria termodinâmica da fratura, aplicada a materiais frágeis e dúcteis, a qual será útil para inserir nos capítulos seguintes a idéia da descrição geométrica fractal da fratura rugosa. O objetivo deste capítulo é, portanto, abordar os tópicos básicos para o desenvolvimento dos modelos descritos ao longo dos capítulos subseqüentes. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: A rigor neste capítulo, e somente neste capítulo, todas as equações deveriam possuir um índice (l) para denotar que se trata de uma teoria para o caminho liso da trinca, Ll. Contudo, este índice, (l), será omitida de todas elas, para não 79

carregar a notação. Outros motivos para essa medida ficarão claros na secção 4.8 do CapítuloIV.

Palavras chave: Mecânica da Fratura, Regime Estável, Curva J-R, Fratura Quase-Estática, Dinâmica da Fratura, Taxa de Energia Elastostática Liberada

PACS números:

6. 1 – Objetivos do Capítulo i) Apresentar uma breve descrição da Mecânica da Fratura Clássica ii) Desenvolver os principais conceitos e equações que serão utilizadas nos capítulos subseqüentes. iii) Fornecer uma base conceitual e matemática para o problema da fratura estável. iv) Motivar a aplicação da correção da rugosidade à Mecânica da Fratura.

6. 2 – Introdução

80

6. 3 - A Mecânica da Fratura Elástica Linear Clássica para os Materiais Frágeis Irwin e Westergaard definiram a princípio três modos fundamentais de solicitação de carga ou de carregamento, baseado nos três eixos principais do espaço tridimensional de tensão, conforme mostra a

Figura - 6. 1.

Figura - 6. 1. Modos fundamentais de solicitação de carga ou carregamento para a fratura.

Figura - 6. 2. Modos fundamentais de solicitação de carga ou carregamento para a fratura; a) Modo I: tração (opening); b) Modo II: cisalhamento (sliding); c) Modo III: rasgamento (tearing)..

81

Todos os sistemas de tensão na vizinhança da ponta de uma trinca podem ser derivados a partir de três modos de carregamento conforme mostrado na Figura - 6. 2. No que segue a dedução das equações de campo de tensão elástico será limitado ao Modo I, uma vez que esta é a situação de tensão predominante em muitos casos práticos. Uma vez que esta dedução é entendida, é possível obter um número de expressões úteis para as tensões e deslocamentos na região da ponta da trinca. Contudo, o uso da abordagem do fator de intensidade de tensão para geometrias práticas envolve algumas dificuldades matemáticas. Por exemplo, trincas reais podem ser muito irregulares na forma, quando comparado as trincas altamente idealizadas e frequentemente consideradas em tratamentos teóricos. Contudo, suposições tais como a largura infinita de uma folha ou placa frequentemente não pode ser mantida se qualquer resultado acurado é necessário. As conseqüências de desvios necessários a partir de soluções teóricas será também discutido neste capítulo.

6. 4 – Campo de Tensão Elástico na Ponta da Trinca Após os trabalhos de Inglis em 1912 e Griffith em 1920, tornou-se extremamente interessante conhecer o comportamento do campo elástico de tensão na ponta de uma trinca em um corpo idealmente frágil. Para isso Irwin e o matemático Westergard desenvolveram os cálculos necessários baseados na teoria elástica linear. Eles imaginaram o campo de tensão conforme mostrado na

Figura - 6. 3.

Existem três formas distintas de carregamento de uma placa contendo uma trinca, e cada orientação de carregamento tem sua própria designação. Os problemas associados com estas diferentes configurações de carregamentos são comumente referidos como os Modos I, II e III. O modo I é o principal modo de fratura que ocorre quando duas superfícies de uma trinca estão sendo separadas por forças de tração as quais estão sendo aplicadas perpendicularmente ao plano da trinca. Este tipo de carregamento é mostrado na Figura - 6. 4a. O modo II é algumas vezes chamado de modo de deslizamento de fratura e ocorre quando forças de cisalhamento no plano são aplicadas ao corpo contendo uma trinca como na Figura - 6. 4b. O modo III é frequentemente referido como o modo de rasgamento da fratura ou o problema antiplano da trinca. Este modo de fratura possui forças cisalhantes fora do plano agindo sobre uma placa da mesma forma que se usa rasgar uma folha de papel. Este modo de orientação de carga é mostrado na

82

Figura - 6. 4c.

Figura - 6. 3. Corpo de prova com um entalhe, Ll, carregado por forças, X, com deslocamento total, u, nos pontos de aplicação da carga.

Figura - 6. 4. Três modos principais de fratura com forças aplicadas F.

Nós agora investigaremos as soluções elásticas lineares correspondentes aos três modos fundamentais de fratura para placas infinitas. O sistema de coordenadas cartesianas a ser usado é mostrado na

Figura - 6. 5. A origem das coordenadas “O” é localizada no

centro da trinca. O comprimento da trinca é 2a, a qual se estende de –a até +a ao longo do eixo-x. A placa possui uma espessura arbitrária. A largura da trinca, i. e. a distância entre as 83

superfícies paralelas da trinca, é matematicamente idealizada ser zero antes do carregamento.

Figura - 6. 5. Coordenadas dos contornos e trinca de uma placa infinita.

6.3.1 – Dedução das equações do Campo de Tensão Elástico na ponta da Trinca Esta secção nos fornece uma revisão da dedução das equações do campo de tensão do Modo I. Tratamentos mais rigorosos podem ser achados nas referencias 1 e 2 da bibliografia que está no final deste capítulo. A dedução cobre os seguintes tópicos: - Equações de equilíbrio de tensão e equações de compatibilidade das deformações. - A Equação Biharmônica - As Funções de Tensão de Airy - As variáveis complexas e as Equações de Cauchy-Riemmann - Condições de Contorno - Uso de coordenadas polares - A Solução de Westergaard - A solução final para o Fator de Intensidade de tensão Para resolver qualquer problema elástico plano as equações de equilíbrio das tensões e as equações de compatibilidade das deformações devem ser obedecidas. Airy demonstrou que para qualquer problema elástico existe uma função   x, y  a qual preenche totalmente os requisitos das equações de equilíbrio das tensões e as equações 84

de compatibilidades das deformações concomitantemente. As tensões  xx ,  xy ,  yy são definidas como:

 xx 

 2 , y 2

(6. 1)

 yy 

 2 , x 2

(6. 2)

 xy 

 2 , xy

(6. 3)

Para as equações de compatibilidade das deformações as seguintes equações biharmônicas podem ser deduzidas:  4   2  2  0 ,

(6. 4)

Toda função   x, y  que satisfaz as equações (6. 4) é chamada de funções de tensão de Airy. Considere agora o problema específico de uma placa infinita carregada biaxialmente contendo uma trinca. Para resolver este problema nós podemos tomar uma função de tensão complexa de um tipo introduzio por Westergaard.

  Re   z   y Im   z  ,

(6. 5)

Na equação (6. 5)   z  é uma função analítica da variável complexa z  x  iy e   z  e

  z  são as integrais de primeira e segunda ordem. Pode ser provado que as partes reais e imaginárias de tais funções analíticas satisfazem a equação biharmônica, e que os produtos destas partes com variáveis x e y também satisfazem. Então as funções analíticas como aquelas na equação (6. 5) podem ser usadas como função de tensão. Usando as equações de Cauchy-Riemmann:

  Re  z   x

  Im f  z     , y

e

85

(6. 6)

  Re  z   y

  Im f  z     , x

(6. 7)

É possível achar expressões para  xx ,  yy e  xy pela derivação da equação (6. 5) de acordo com as regras da equação (6. 1), (6. 2), (6. 3) esta fornece

 xx  Re   z   y Im ´ z  ,

(6. 8)

 yy  Re   z   y Im ´ z  ,

(6. 9)

 xy   y Re ´ z  ,

(6. 10)

onde  ´ z  é a derivada de primeira ordem. Note que as equações (6. 8), (6. 9) e (6. 10) são soluções gerais as quais forneceram tensões para quaisquer   z  . Contudo, as tensões corretas para um problema particular será obtida somente usando-se uma função   z  que satisfaz um número de condições de contorno pertencente à aquele problema.

Figura - 6. 6. Placa infinita carregada biaxialmente contendo uma trinca.

A formulação de Kosolov para os problemas planos da elasticidade [ ] segue: 86

 x   y  2  '  z    '  z   .

(6. 11)

 y   x  2i xy  2  z  "  z    '  z   .

(6. 12)

2G  u x  iu y   k   z   z '  z     z  .

(6. 13)

Onde a “linha” denota as derivadas em relação a z, então  '  z   d  / dz e  '  z   d  / dz

para deformação plana 3  4v k   3  v  / 1  v  para tensão plana

(6. 14)

Para uma placa infinita, carregada biaxialmente e contendo uma trinca como mostrado na Figura - 6. 6 as condições de contorno são prontamente estabelecidos, como: 1)  yy  0 para a  x   a e y  0 2)  yy    conforme x   3)  yy   (isto é uma singularidade) em x   a uma vez que a trinca é um intensificador de tensão Agora uma função   z  que satisfaz estas condições de contorno deve ser escolhida. Um exemplo é a função:

 z 

a a2 1 2 z

, (6. 15)

Nós sabemos das equações (6. 8), (6. 9) e (6. 10) que ao longo do eixo- x (i. e.

y  0 ),  yy  Re   z  , e isto é visto a partir da equação (6. 15) que para a  x   a ,

Re   z    0 e portanto  yy  0 , como requerido pela primeira condição de contorno, Além do mais, para z   a equação (6. 15) fornece   z    yy e para z  a ou  a existe uma singularidade, de tal forma que a segunda e a terceira condição de contorno são também satisfeitas. Contudo, se a origem é transladada para a ponta da trinca tomando-se   z  a , nós obtemos uma outra função de tensão adequada a qual torna-se mais fácil usar. Esta função é: 87



    1

a



2

 a  

2

 a  

 a  

2

,

 a2

(6. 16)

Uma aproximação de primeira ordem para esta equação, válida para   a , é simplesmente:

   

a a ,  2 2a

(6. 17)

Note que esta aproximação é o primeiro termo da expansão em série de Laurent. Usando a equação (6. 17) uma variação pode ser facilmente feita para uma representação em coordenadas polares  r ,  com origem na ponta da trinca como mostrado na

Figura - 6. 6.

Então   rei e

 a  i2     e , 2r

(6. 18)

  a  i2     e , 2 r

(6. 19)

ou

A equação (6. 19) é somente válida para r  a , apropriando a aproximação feita para obter a equação (6. 17). Tendo obtido a equação (6. 18) e (6. 19) por álgebra direta esta pode ser usada para achar Re   z  , Re ´ z  e Im ´ z  .

6. 5 – Condições de Contorno As condições de contorno ao longo das superfícies da trinca para todos os três modos de fratura são aquelas que são livres de tração. As implicações destas superfícies livres de tração na tensão plana ao longo das faces da trinca C (

Figura - 6. 5) são para os

modos planos de fratura (I e II).

  a  x  a, y  0 C  . t x  t y  0   y  0,  xy  0

(6. 20)

As implicações das superfícies livre de tração sobre as tensões para o problema de trinca antiplano (Modo III) são dados em (I.5.64) e (I.5.65 ), 88

A condição de contorno infinito depende do modo de fratura a ser investigado. As trações de campo distrante dos três modos principais de fratura são mostrados na Figura - 6. 7.

Figura - 6. 7. Campos de tração longe para os três modos principais de fratura

6. 6 – Resultados Analíticos de Fratura Lisa A solução analítica do campo de tensão/deformação ao redor de uma trinca lisa está presente em vários livros textos de Mecânica da Fratura e são apresentadas abaixo para os Modos I, II e III. Para cada um dos três modos eles encontraram as expressões das tensões em função da posição r e do ângulo  e do comprimento da trinca a, ou seja:     r , , a  De uma forma geral o fator de intensidade de tensão para os modos I,II,III pode ser definido como:

K I , II , III    a 

 ij 2 r , f  

(6. 21)

f   ,

(6. 22)

logo

 ij 

K I , II ,III 2 r

89

O qual define uma propriedade do material para    f , e a  ac onde:

 ij 2 r , f  

K IC , IIC , IIIC   f  a 

(6. 23)

chamado de fator de intensidade de tensão crítico ou tenacidade a fratura. Portanto,

 ij 

K IC ,IIC ,IIIC 2 r

f   ,

(6. 24)

Para os Modos I, II e III, todas estas tensões podem ser resumidas em uma única expressão do tipo: 1/ 2

 a   ij  a, r ,       2 

f   ,

(6. 25)

Observe que no limite de r  0 , para um ângulo   0 a tensão na ponta da trinca tende a um limite que depende apenas do tamanho da trinca, ou seja:

lim  ij  a , r ,  r 0

a 0

 f ,

(6. 26)

que corresponde a tensão de fratura do material 1/ 2

 EG  c  f    1  v 2 





,

(6. 27)

e Gc  2 e   p ,

(6. 28)

- tensão plana ou estado biaxial (estado plano de tensão) - deformação plana ou triaxial (estado plano de deformação)

Observações 1) A derivação anterior é somente um dos métodos para obter a solução do campo de tensão. Existem vários outro métodos mais gerais. 2) A derivação é específica para uma placa infinita biaxialmente carregada. Contudo, ela pode ser mostrada que para uma placa uniaxialmente carregada a solução difere 90

das equações (6. 41), (6. 42) e (6. 43) somente que em um termo não-singular   deve ser subtraído da expressão para  xx . Esta correção é frequentemente omitida, uma vez que o primeiro termo na expressão é muito maior. 3) A solução é somente o primeiro termo em uma expansão em série e é válida somente para  , r  a . Contudo, esta restrição leva a um resultado muito importante. Para todo problema do Modo I a forma geral de   z  deve conter o fator

1 a2 1 2 z

para assegurar

que  yy  0 para a  x  a . Então executando a transição   z  a significa que para

  a todos as funções de tensão    se reduzem á:    

f  



,

(6. 29)

Contudo, por causa de que   a , ele pode ser considerado tender a zero e f   pode ser substituída por um valor constante. Escolhendo este valor ser K I / 2 , nós podemos escrever: lim    

 

KI , 2

(6. 30)

Comparando este resultado com a equação (6. 18) e (6. 19) é porque para todo Modo I a função de tensão a parte geométrica f  r ,   permanece a mesma e somente K I varia. A conseqüência é que na vizinhança da ponta da trinca   a  o campo total de tensão devido a dois ou mais diferentes Modo I de sistemas de carregamento pode ser obtido por simples soma algébrica dos respectivos fatores de intensidade de tensão. Este é um resultado muito importante, como será mostrado na secção 2.6. 4) A solução é válida somente para uma trinca slit-shaped com raio de curvatura zero na ponta da trinca. Na prática é algumas vezes necessário considerar uma trinca com raio finito na ponta da trinca.

91

6.2.1 - Modo I  GIC  K IC  Para o Modo I nós assinalaremos uma tensão de tração bidimensional no infinito

N :  x  , t x    , t y  0   x    ,  xy  0 N  .  y  , t x  0, t y      y   x ,  xy  0

(6. 31)

Note que nós temos aplicado uma tensão de carga constante na direção-x no infinito, a qual não tem forças correspondentes na Figura - 6. 4a. Esta tração particular é introduzida para simplificar a condição de contorno no infinito para um estado uniforme de tensão   . Uma tensão adicional   será produzida na direção-x por esta tração específica. Esta tensão é constante porque ela atua no plano da trinca e, portanto não é afetada pelas condições de contorno internas que as superfícies da trinca seriam imposta de outra forma. Esta tensão estranha pode ser subtraída da solução depois se desejada. A solução elástica para o problema do modo I pode ser obtida pela substituição nas seguintes funções complexas dentro das equações de Kosolov (6. 11)–(6. 13)  ' z  

1 ZI  z  , 2

1  '  z    zZ 'I  z  . 2

(6. 32)

onde Z I  z  é a chamada de função de Westergaard e é dada por: ZI  z  

z z2  a2

.

(6. 33)

e as derivadas e antiderivadas de Z I  z  em relação a z são designadas por Z 'I  z  

dZ I   a 2 .  3/ 2 dz z 2  a2



(6. 34)



e



Z *I  z    Z I dz    z 2  a 2

1/ 2



.

(6. 35)

Note que a seguinte relação resulta da integração de (6. 32) por partes:

92

  z 

1 1 Z *I  z   zZ I  z  . 2 2

(6. 36)

onde Z *I  z  é a integral de Z I  z  com relação a z, como dado por (6. 35). Estas substituições resultam nas seguintes soluções elásticas lineares, as quais encontram as condições de contorno (6. 20) e (6. 31).

 x   y  Z I  z   Z I  z   2 Re Z I  z  .

 x   y  2i xy   z  z  Z ' I  z   2 yiZ 'I  z   2 y  Im Z 'I  z   i Re Z 'I  z  

(6. 37)

.

1  k  1 Re Z *I  z   y Im Z I  z   2 . 1  i   k  1 Im Z *I  z   y Re Z I  z   2 

(6. 38)

2G  u x  iu y  

(6. 39)

onde Re e Im denotam as partes real e imaginária de uma função complexa, e o parâmetro k é definido individualmente para tensão plana e deformação plana por:

 3  v  / 1  v  tensão plana k . deformação plana 3  4v

(6. 40)

Note que esta formulação particular de Westergaard restringe as soluções a aquelas que têm a propriedade  x   y e  xy  0 ao longo do eixo-x

 y  0 .

Então a

condição de contorno biaxial de tensão no infinito  x   y    (veja a Figura - 6. 7 ) é uma necessidade de forma a aplicar a técnica de Westergaard ao problema do Modo – I. A solução elástica linear exata para as tensões e os deslocamentos para tensão plana a qual encontra as condições de contorno no infinito são dadas no Capitulo – IV. Ao redor da ponta da trinca x  a , y  0 , as funções Z I  z  , Z 'I  z  e Z *I  z  assumem a forma assimtótica ( ) e ( ), respectivamente, onde r e  são redefinidas sobre a ponta da trinca como mostrado na Fig..

93

Por sua vez estas quantidades podem ser substituídas nas equações (6. 8), (6. 9) e (6. 10), resultando na solução assimtótica associada para as tensões, a qual é válida para ambos as tensões planas e a deformação plana para o modo I, é:

 xx 

 a      3   cos   1  sen   sen    , 2 r  2  2  2 

(6. 41)

 yy 

 a      3   cos   1  sen   sen    , 2 r  2  2  2 

(6. 42)

 a      3   cos   sen   cos    2 r  2  2  2 

(6. 43)

 xy  onde

 33  v  11   22  ,

(6. 44)

As equações (6. 41), (6. 42) e (6. 43) mostram que todas as tensões tendem ao infinito em r  0 (na ponta da trinca) e são produtos das posições geométricas

1 2 r

f   e

um fator   a , o qual é uma simples função da tensão remota e do comprimento da trinca. Então o fator   a determina a magnitude das tensões elásticas no campo na ponta da trinca. Este fator   a é chamado de Fator de Intensidade de Tensão do Modo I, KI    a :

Figura - 6. 8. Campo de Tensão

 xx

no Modo I de Fratura com singularidade. Modelo Clássico

  1/ 2 94

Figura - 6. 9. Campo de Tensão

 xy

no Modo I de Fratura com singularidade. Modelo Clássico

Figura - 6. 10. Campo de Tensão

 yy

no Modo I de Fratura com singularidade. Modelo Clássico

  1/ 2

  1/ 2 onde o parâmetro K I , chamado de fator de intensidade de tensão do modo I , é para a placa infinita com uma trinca interna de comprimento 2a sujeito a uma tensão uniforme de tração,

  aplicada remotamente 1/ 2

K I     a  ,

(6. 45)

Nós podemos agora subtrair a tensão constante   da distribuição de tensão  x (6. 41) de forma a eliminar a condição de contorno estranha no infinito na direção-x de t x    que foi introduzida anteriormente para facilitar a solução. Contudo, uma vez que  x e

todas as outras tensões têm uma singularidade 1/ r1/ 2 , na ponta da trinca, esta tensão estranha tem pouco efeito próximo da ponta da trinca e como tal é geralmente desprezada a partir do 95

modo I de solução assimtótica para a placa infinita. Analogamente, os deslocamentos assimptóticos ao redor da ponta da trinca para o modo I de tensão plana e deformação plana são achados a partir de (6. 39). Sob tensão plana as condições de carregamento, os deslocamentos ou as deflexões

u  u  , r ,  , a  do Modo I são explicitamente. 1/ 2

ux 

 a  r    2   2 

1/ 2

u x   K I / E  2r /  

     cos    k  1  2sen 2    ,  2   2 



(6. 46)



cos  / 2  2  1  v  cos 2  / 2  .

(6. 47)

1/ 2

 a  r    2    u2    sen    k  1  2 cos    , 2   2   2   2  1/ 2



(6. 48)



u y   K I / E  2r /   sen  / 2  2  1  v  cos 2  / 2  . onde k é definido como em (6. 40) como k 

G

(6. 49)

3v onde a relação 1 v

E . 2 1  v 

(6. 50)

foi usada para relacionar G com E. Os deslocamentos assimptóticos para a deformação plana do modo I para uma placa infinita são dada explicitamentes como ( ) e ( ) e o deslocamentos exatos para o modo I de uma placa infinita são dada por ( ) e ( ). Estas soluções exatas são fairly complicadas algebricamente, unlike que as soluções assimtóticas. Para outras geometrias além da placa infinita, e para outros diferentes tipos de carregamentos, somente o fator de intensidade de tensão K I varia com a forma (6. 45). Por exemplo, o fator de intensidade de tensão para uma trinca na borda de comprimento a em uma placa semi-infinita com uma tensão remotamente aplicada   é aproximadamente: 1/ 2

K I  1.12    a 

,

(6. 51)

Uma trinca na borda de uma placa de dimensões infinitas com forcas concentradas é ilustrada na

Figura - 6. 4. 96

O estado sob o qual o fator de intensidade de tensão é suficiente para caracterizar as distribuições de tensão ao redor da vizinhança da ponta da trinca é chamado de fluência de pequena escala. Desprezando-se a geometria da amostra ou o tipo de carregamento de carga, a intensidade da singularidade de todas estas tensões na ponta da trinca

 r  0

permanece

1/ r1/ 2 para todos os problemas elásticos lineares. Isto não é verdade, contudo para as teorias de deformação de plasticidade, a qual pode ser interpretada como teorias elásticas nãolineares. Nós examinaremos problemas de trincas para estes tipos de materiais não-lineares posteriormente. Uma solução para o problema que leva em consideração uma trinca com raio finito na ponta da trinca. foi obtida por Creager e Paris, que simplesmente moveu a origem do sistema de coordenadas polares do sistema por uma quantidade igual a uma metade do raio da ponta da trinca, como mostrado na Figura - 6. 11.

Figura - 6. 11. Trinca.com uma ponta de raio,

 , finito.

As seguintes expressões foram obtidas:

x 

KI KI         3    3 cos   1  sen   sen       cos  2 r 2 r  2r   2  2  2   2

 , 

(6. 52)

y 

KI KI         3    3  cos   1  sen   sen       cos   , 2 r 2 r  2r   2  2  2   2 

(6. 53)

 xy 

KI      3 cos   sen   cos  2 r  2   2   2

KI      3      sen   , 2 r  2r    2 

97

(6. 54)

6.2.2 - Modo II  GIIC  K IIC  Como a solução do modo I, a solução elástica para o problema do modo I pode ser obtida pela substituição da função de Westergaard ,

z

Z II  z  

z 2  a2

.

(6. 55)

nas equações de Kosolov (6. 11)–(6. 13), onde: 1  '  z    iZ II  z  , 2

 ' z  

1 izZ 'II  z   iZ II  z  . 2

(6. 56)

Estes potenciais de Westergaard diferem das funções anteriores (6. 32) em que elas geram soluções que tem a propriedade de  y  0 e  xy  0 ao longo do eixo-x, e satisfaz as seguintes condições de contorno no infinito

Figura - 6. 7.

 x  , t x  0  t y      x  0,  xy    N  .  y  , t x     t y  0   y  0,  xy   

(6. 57)

Os potenciais (6. 56) também satisfazem as condições de contorno (6. 20) e produzem a solução elastica linear: 1  x   y  i  Z II  z   Z I  z    2 Im Z II  z  . 2

(6. 58)

 x   y  2i xy  i  z  z  Z ' II  z   2iZ II  z   2 y Re Z 'II  z   2 Im Z II  z   2i   y Im Z 'II  z   Re Z II  z   (6. 59)

. 1  k  1 Im Z *II  z   y Re Z I  z   2 . 1  i   k  1 Im Z *II  z   y Im Z II  z   2  2G  u x  iu y  

(6. 60)

onde o parâmetro k é definido individualmente por (6. 40) para tensão plana e deformação plana. A solução elástica linear exata para as tensões e os deslocamentos para a deformação plana encontram condições de contorno no infinito dadas no Capítulo XX. Ao redor da ponta da trinca em x  a , y  0 a função Z II  z  assume a forma ( ). As funções Z 'II  z  e Z *II  z  segue analogamente de ( ) e ( ) substituindo   por   . 98

A solução assimtótica para as tensões perto da ponta da trinca para o modo II sob condições de carregamentos de tensão ou deformação plana.

 xx 

 a 2 r

 xy 

        3   sen  2    2  cos  2  cos  2       

  , 

(6. 61)

 a      3   cos   1  sen   sen    , 2 r  2  2  2 

(6. 62)

 a      3   sen   cos   cos    , 2 r  2   2   2 

(6. 63)

 yy  onde

 33  v  11   22  ,

(6. 64)

onde o parâmetro K II é chamdo de fator de intensidade de tensão do modo II . Para uma placa infinita com uma trinca interna de comprimento 2a sujeita a uma tração de cisalhamento remotamente aplicada no plano   (veja, Figura - 6. 7), o fator de intensidade de tensão é: 1/ 2

K I     a  ,

(6. 65)

Analogamente, os deslocamentos ou as deflexões u  u  , r , , a  assimptóticos ao redor da ponta da trinca para o modo II de tensão plana e deformação plana são achados a partir de (6. 60) ser: 1/ 2





u x   K II /  2G    r / 2  sen  / 2  k  1  2 cos 2  / 2  .

(6. 66)

1/ 2

u1 

 a  r    2      sen    k  1  2sen    , 2   2   2   2  1/ 2

u y   K II /  2G    r / 2  1/ 2

 a  r  u2    2   2 



(6. 67)



cos  / 2  1  k  2sen 2  / 2  .

     2      cos  2    k  1  2sen  2   ,      

onde k é definido como em (6. 40). 99

(6. 68)

(6. 69)

Sob tensão plana as condições de carregamento, os deslocamentos do Modo II são explicitamente. 1/ 2





(6. 70)





(6. 71)

ux   K II / E  2r /   sen  / 2  2  1  v  cos 2  / 2  . 1/ 2

u y   K II / E  2r /   cos  / 2  2v  1  v  cos 2  / 2  .

onde a relação (6. 50) foi usada para relacionar G com E. Os deslocamentos assimptóticos para a deformação plana do modo II para uma placa infinita são dada explicitamentes como ( ) e ( ) e o deslocamentos exatos para o modo II de uma placa infinita são dada por ( ) e ( ). Estas soluções exatas são fairly complicadas algebricamente, unlike que as soluções assimtóticas. Um método geral de solução de problemas planos por meio de um esquema de mapeamento de variáveis complexas e das equações de Kosolov foi desenvolvido por N. I. Muskhelishvili. Este método de solução é muito poderoso para solução de problemas mecânicos elásticos lineares. Uma breve introdução a esta técnica pode ser achada em [Timoshenko, Sokinlikov]

Figura - 6. 12. Campo de Tensão

 xx

no Modo I de Fratura com singularidade. Modelo Clássico

  1/ 2

100

Figura - 6. 13. Campo de Tensão

 xy

no Modo I de Fratura com singularidade. Modelo Clássico

  1/ 2

Figura - 6. 14.Campo de Tensão

 yy

no Modo I de Fratura com singularidade. Modelo Clássico

101

6.2.3 - Modo III – O Problema Antiplano  GIIIC  K IIIC  Por causa de sua relativa simplicidade o problema antiplano Modo III onde

u1  u2  0 .

(6. 72)

u3  u3  x1 , x2  .

(6. 73)

e

É considerado primeiro. A equação (6. 74) fornece os seguintes componentes de deformação não nulas

1  u u   ij   i  j  . 2  x j xi 

(6. 74)

1  u   3   3  . 2  x 

(6. 75)

e

onde   1, 2 De acordo com a equação (6. 76) v    ij  2    ij   ij kk  . 1  2v  

(6. 76)

as componentes das tensões não triviais são:

 3  2  3 .

(6. 77)

a partir de (2.110) a única equação relevante na ausência de força é:  3  0. x

(6. 78)

 31  32   0. x1 x2

(6. 79)

ou

Substituindo (6. 77) em (6. 78) temos:

102

  2 3   0 . x

(6. 80)

logo 2

 3  0. x

(6. 81)

 x

 1 u3   2 x

(6. 82)



 2u3  0. x2

usando (6. 75) temos:

2

 0. 

logo

(6. 83)

para   1, 2  2u3 

 2u3  2u3  2 0. x12 x2

(6. 84)

Portanto a solução da equação (6. 84) pode ser escrita como: u3 

1  f  z   f  z   . 

(6. 85)

onde f  z   u  x, y   iv  x, y  .

(6. 86)

f  z   u  x, y   iv  x, y  .

(6. 87)

e

Introduzindo a equação (6. 85) em (6. 75) e usando (3.1.9) temos: 1  u  1   1   31   3     f  z   f  z    . 2  x1  2 x1   

e

103

(6. 88)

 31 

1  f '  z   f '  z   . 2 

(6. 89)

e

 1  u  1   1  32   3     f  z   f  z    . 2  x2  2 x2   

(6. 90)

e

 32 

i  f '  z   f '  z   . 2 

(6. 91)

A partir de (6. 77) temos:

 31  2 31   f '  z   f '  z   .

(6. 92)

 32  2 32  i  f '  z   f '  z   .

(6. 93)

e

multiplicando (6. 93) por i e somando com (6. 92) temos:

 31  i 32  2    31  i 32   2 f '  z  .

Figura - 6. 15. Região da ponta da rinca e o sistema de coordenadas

Considerando-se uma função holomórfica f  z  do tipo:

104

(6. 94)

f  z   Cz  1 .

(6. 95)

C  A  iB .

(6. 96)

onde

e A,B e  são cosntantes reais a serem determinadas. Para deslocamentos finitos no topo da trinca temos que: z  r  0 ;   1 .

(6. 97)

Substituindo (6. 95) em (6. 94) temos:

 31  i 32  2    1 Cz   2    1 A  iB  z   2    1 A  iB  cos   isen z 

.

(6. 98)

onde

 31  2    1 r   A cos   B sen  z  .

(6. 99)

 32  2    1 r   A sen   B cos  z  .

(6. 100)

As condições de contorno que requerem as superfícies da trinca sejam livres de tração necessita que:

 32  0 .

(6. 101)

A sen   B cos   0 . A sen   B cos   0

(6. 102)

em    conseqüentemente

Para evitar a solução trivial o determinante dos coeficientes das equações deve ser nulo: sen  sen  

cos    0.  cos  

(6. 103)

temos:  sen  cos   sen  cos   0 . 2sen  cos    sen 2  0

105

(6. 104)

o qual para   1 tem-se as raízes:

1    , n / 2 , n  0,1, 2,... . 2 A partir de (6. 99) e (6. 93) para A = 0 e   

(6. 105)

1 temos: 2

  1        31  2    1  r 1/ 2   B sen      r 1/ 2 B sen    .  2   2   2 

(6. 106)

  1        32  2    1  r 1/ 2  B cos      r 1/ 2 B cos    .  2   2   2 

(6. 107)

a partir de (6. 85)temos:

1  A  iB  z  1   A  iB  z  1  . 

u3 

(6. 108)

e

u3 

u3 

1  A  iB  rei  

 

 1



  A  iB  re i



 1

. 

(6. 109)

1  A  iB  r  1ei  1   A  iB  r  1e i 1  . 

(6. 110)

e





 1  cos    1    i sen    1     1  A  iB  r . u3      A  iB  r  1 cos    1    i sen    1         





(6. 111)

logo

u3 

1   1 r 2 A cos    1    2 B sen    1    .  





(6. 112)

Para A  0 e   1/ 2 temos:

u3  

2 B 1/ 2   r sen   .  2

Escolhendo B de tal forma que: 106

(6. 113)

B

K III 1/ 2

 2 

.

(6. 114)

A partir de (6. 106) e (6. 107) temos:

 31 

 a 2 r

      sen  2   ,   

(6. 115)

e

 31  r 1/ 2

K III 1/ 2

 2 

 K III     sen     sen   . 1/ 2  2   2 r  2

(6. 116)

e

 a   sen   , 2 r 2

(6. 117)

K III     cos     cos   . 1/ 2  2   2 r  2

(6. 118)

 32  e

 32  r 1/ 2

K III 1/ 2

 2 

e as deflexões u  u  , r , , a  são: 1/ 2

u3 

2  a  r    2 

  sen   , 2

(6. 119)

e 1/ 2

2 K III  r  u3    2 

  sen   . 2

(6. 120)



(6. 121)

onde K III é definido de tal forma que: K III  lim u3 r 0

 2 r 

1/ 2

 32  0 .

107

Figura - 6. 16. Campo de Tensão

 xy

no Modo I de Fratura com singularidade. Modelo Clássico

Figura - 6. 17. Campo de Tensão

 yx

no Modo I de Fratura com singularidade. Modelo Clássico

  1/ 2

  1/ 2

108

6.3.1 - Perfil de Tensões na ponta da Trinca Após todos estes cálculos nós podemos ainda perguntar, qual é o perfil de distribuição de tensão a partir da ponta da trinca até a superfície do material? Quando tomamos como referência a ponta da trinca de tamanho de falha c . nós temos o seguinte perfil de distribuição de tensões em função da distância r a partir da ponta da trinca:

Figura - 6. 18. Perfil de tensão na ponta da trinca.

Para este perfil Irwin-Westergard encontraram a seguinte relação:

 y   ap

c , 2 r

(6. 122)

onde c é a metade do comprimento da falha, ou seja é o comprimento de uma trinca superficial ou a metade do comprimento de uma trinca interna. A equação (6. 122) só é válida para trincas elípticas, e dá o perfil de distribuição de tensão na ponta da trinca até a a superfície do material. O cálculo ou o valor de c, pode ser introduzido pela criação de uma falha através de um entalhe no material, que pode passar a ser um defeito crítico (no caso de fratura catastrófica) que leva ao rompimento do corpo cujas dimensões são conhecidas. A expressão (6. 122) pode ser escrita como:

109

 y   ap

c , 2r

(6. 123)

Observe que se: r  0y  ,

(6. 124)

r   y  0,

(6. 125)

e se

Observe também que a equação (6. 122) ou (6. 123) apresenta singularidades, não podendo ser calculada para casos extremos como, por exemplo, r  0 , pois o próximo a este ponto r  0 , o valor da tensão tende a um valor teórico  y   teo e antes que isso ocorra a tensão

de escoamento  esc do material é atingida, pois por mais frágil que seja o material, na prática existe uma deformação plástica residual na ponta da trinca, capaz de absorver energia e o material apresenta escoamento. Portanto, a expressão (6. 123) serve apenas para demonstrar as tendências nos casos extremos. Se tivermos um corpo com dimensões infinitas onde A e r tendem ao infinito ( A e r   ) então  

F  0 , pois quando A   o raio na frente da trinca pode também A

ser prolongado até tender ao infinito r   . E a carga dividida pela área infinita F      tende a zero (   0 ). A 

Figura - 6. 19. Perfil de tensão na ponta da trinca.

110

A expressão geral para a tensão  y em função da distância r e do ângulo  a partir da ponta da trinca é dada por:

y 

 ap  c

     3 cos   1  sen   sen  2 2 2 r      2

  , 

(6. 126)

onde  é o ângulo formado entre a ponta da trinca e o raio de um ponto qualquer no interior do material.

6. 7 – O Fator de Intensidade de Tensão Definindo-se o fator de intensidade de tensão K (em MN / m3/ 2 ) como sendo: K   ap  c ,

(6. 127)

Portanto, a partir da definição acima nós temos que:

y 

K      3   cos   1  sen   sen    , 2 r  2  2  2 

(6. 128)

e para   0 temos:

y 

K 2 r

,

(6. 129)

A partir da expressão (6. 129) nós podemos ver que o perfil de tensões na ponta da trinca é o mesmo para qualquer geometria da trinca, pois o que muda com a geometria é o valor de  y , que depende diretamente do valor de K definido acima. Para   0 , ou seja, posição perpendicular a solicitação da carga, nós temos a condição limite onde a solicitação é máxima e a expressão (7.25) ou (7.26) é recuperada. Para uma posição qualquer ao longo do eixo x,  y é a condição crítica de solicitação, pois neste eixo  y é maior do que em qualquer outro ponto correspondente sobre outro eixo considerado.

111

Figura - 6. 20. Modos de solicitação de carga.

Há ainda dois pontos importantes a considerar: nem sempre a trinca se encontra no centro do corpo e também o fator de concentração de tensões da forma como foi definido depende do tipo de aplicação de carga, ou seja, das diferentes situações de aplicação de carga, ou do tipo de solicitação a qual o material está submetido, conforme mostra a

Figura - 6.

20. O formalismo matemático muda para os casos II e III, e não existe até hoje um método reconhecido de cálculo que inclua as três situações simultaneamente. Para a solicitação de tração K  K I , para cisalhamento K  K II e para rasgamento K  K III . A partir de (7.26) vê-se que se duas falhas de diferentes geometrias têm o mesmo valor de K (desde que se situe no mesmo tipo de solicitação) então o campo de tensões em torno delas são iguais demonstrando desta forma a importâancia da definição do fator K  KI .

Como dependência geométrica da trinca é um fator importante nós definirmos um parâmetro y como sendo o “fator geométrico” da trinca onde a fórmula genérica será:

y 

Y  ap  c 2 r

     3 cos   1  sen   sen   2  2  2

  , 

(6. 130)

Portanto, para   0 temos:

y 

Y  ap  c 2 r

,

ou 112

(6. 131)

 y  Y  ap

c , 2r

(6. 132)

onde o fator de intensidade de tensão K  K I para a tração na ponta da trinca é dado agora por:

K I  Y  ap  c ,

(6. 133)

6.4.1 - Fator Geométrico ou de Forma do Corpo Trincado sujeito a um Carregamento O formalismo teórico para determinação do fator de amplificação de tensão K foi realizado para uma trinca aguda em uma placa infinita, sendo que para outras geometrias em corpo infinito temos que:

K I  Y  ap  c ,

(6. 134)

onde Y é o fator geométrico da trinca que considera os diferentes métodos de carregamento, a forma da trinca, a posição e o tipo de defeito, a localização da trinca, o estado de solicitação, etc. Este fator é tabelado, mas pode ser obtido pelo método matemático de elementos finitos, como por exemplo: Quando Y  1 o corpo está submetido à tração e a trinca está localizada no seu centro e quando K I  Y  ap  c esta expressão depende de qual é o valor de Y considerado e quando K I  Y  ap c , Y já está multiplicado por

 .

Figura - 6. 21. Efeito da largura e da posição da trinca em diferentes corpos sólidos sob tração.

113

Se a trinca é muito pequena em relação a largura do corpo de prova ou em relação a área aplicada  c / W  0  então para efeitos de cálculo reais, pode-se igualar c/W a zero

c / W  0 c /W 

pois c é da ordem de microns (  m ) e W é da ordem de centímetros logo

 m 10 6 m   10 4 . cm 10 2 m Considerando que c / W  1  Y  1,12 neste caso, portanto K  1,99 c , pois

já está multiplicado por

 .

Considerando a geração de gráficos de Y  c / W temos:

Figura - 6. 22. Gráfico do efeito da largura em corpos sólidos sob tração.

A partir da definição de K nós podemos escrever:

K I  Y  ap  c ,

(6. 135)

logo

 ap 

1 KI , Y c

(6. 136)

Nós vemos que K tornou-se um parâmetro comparativo à tenacidade dos materiais, conforme o exemplo abaixo: Sejam três corpos de prova exatamente iguais, mas com tamanhos de defeitos diferentes, conforme mostra a Figura - 6. 23.

114

Figura - 6. 23. Gráfico do efeito da largura em corpos sólidos sob tração.

como o valor de K é o mesmo para os três casos temos:

K I  Y1 ap  c1  Y2 ap  c2  Y3 ap  c3 ,

(6. 137)

Variando o tamanho ou a posição do defeito para o mesmo estado de solicitação nós temos que K  cte (é o mesmo para todos os três casos). Portanto, se K1  K 2  K 3

1 2 3 então nós podemos concluir que  ap .   ap   ap

Graficando Y  c / W nós temos que:

Figura - 6. 24. Gráfico do efeito da largura em corpos sólidos sob tração.

115

No caso de uma trinca ou defeito de tamanho crítico para a ruptura nos definimos o novo valor de K I (para tensão) como sendo o Fator Crítico de Intensidade de Tensão

 KI

 K IC  dado por:

K IC  Y  f  c ,

(6. 138)

Portanto, para a ruptura temos:

 ap 

1 KI 1 K IC  f  , Y c Y c

(6. 139)

Para aplicações práticas da expressão (6. 139) do fator de intensidade de tensão crítica K IC não tenho o valor de c, mas tenho o valor de K IC , e se olhar para um gráfico de Y contra c / W qual o valor de Y que se deve adotar? Como posso calcular o valor de c? Se a espessura do corpo de prova for considerável adoto

c  0 . Senão posso W

criar um defeito através de um entalhe no material que passa a ser um defeito crítico de dimensões definidas.

6.4.2 - Critério de Fratura Campos assintóticos para r  0 K  K  , a  ,

(6. 140)

Por causa da natureza singular do campo de tensão elástica, existe uma região inelástica (plástica) ao redor da ponta da trinca onde o processo de nucleação de vazios, crescimento e coalescência que constituem a fratura dúctil ocorrem. Seja R a dimensão representativa desta região inelástica. Uma estimativa de R pode ser obtida, para o Modo–I equacionando-se  22 para fornecer a tensão  y em r  R e   0 , tal que:

 22

  KI      3    cos   1  sen   sen    , 2 r   2    2   2    1 0 0  

e

116

(6. 141)

2

 22

KI 1  KI   R   , 2   y  2 r

(6. 142)

Dentro desta região a solução elástica linear é inválida. Não é possível, portanto, caracterizar diretamente o processo de fratura com uma formulação elástica linear.

Figura - 6. 25. Base da Mecânica da Fratura elástica linear

Não é essencial admitir que a região inelástica está confinada à região do domínio K. A situação onde R é pequeno comparado com D e qualquer outra dimensão geométrica e referida como uma fluência de pequena escala. A análise elástica indica que as distribuições de tensões e deformações dentro da região de domínio K são as mesmas desprezando-se a configuração e o carregamento. Então, dado dois corpos com diferente tamanhos de trinca e diferentes carregamentos do mesmo modo, mas de outra forma idênticos, então próximos à ponta, campos de tensões e deformações serão os mesmos se os fatores de intensidade de tensão são iguais.

K I   f 1  LC1   f 2  LC 2 ,

(6. 143)

Conseqüentemente, o fator de intensidade de tensão caracteriza a carga ou a deformação experimentada pela ponta da trinca e é uma medida da propensidade para extensão da trinca ou para a força promotora do trincamento. Isto é, se o crescimento da trinca é observado iniciar no primeiro corpo a um certo fator de intensidade de tensão crítico, então a extensão da trinca no segundo corpo pode ser esperada quando seu fator de intensidade de tensão atinge o mesmo valor crítico. Portanto, dentro do confinamento de fluência de pequena escala o critério de fratura do MFEL para um crescimento de trinca pode ser expresso como: 117

K  K  , a   K C ,

(6. 144)

onde, KC é o valor crítico do fator de intensidade de tensão K e é uma medida da resistência a fratura do material.

6.4.3 - A Zona Plástica e a Tenacidade a Fratura A Mecânica da Fratura Elástica Linear está baseada apenas na condição de que o tamanho da zona plástica ao redor da ponta da trinca é pequeno quando comparado à região K-dominante, ao comprimento da trinca ou a qualquer outro comprimento geométrico característico. Dentro destas restrições a equivalência da fluência de pequena escala expressa pela equação ( ) é justificável. Baseado apenas na análise elástica próxima a ponta da trinca, estimativas do tamanho e forma da zona plástica e da tenacidade a fratura será examinado. A equação (3.138) fornece

 22 

KI 2 r

,

(6. 145)

para a distribuição de tensões no Modo-I idealmente elástico sobre o plano da trinca   0 . Esta distribuição e uma distribuição elástica perfeitamente plástica são mostradas esquematicamente na Figura - 6. 26. O comprimento 1 ry  2

 KI  y

2

  , 

(6. 146)

Identifica-se o ponto sobre o plano da trinca onde as tensões elásticas  22 da equação (6. 145) são iguais a tensão de fluência uniaxial  y . A fluência local perto da ponta da trinca em um material real estende-se a uma redistribuição das tensões como mostrado na Figura - 6. 26. Em uma primeira aproximação esta fluência causa a carga elástica sobre a região 0  r  ry sobre o plano da trinca de forma uniformemente distribuída sobre o comprimento rp , a extensão da fluência sobre este plano, isto é: ry



22

dr   y rp ,

0

a qual para a distribuição da equação (6. 145) provê: 118

(6. 147)

1K rp  2 r   I    y

2

  , 

(6. 148)

Figura - 6. 26. Distribuições de tensões no plano para trincas elásticas e inelásticas.

para um estado do plano de tensões. Irwin ( ) estimou que a restrição introduzido pelas condições da deformação plana eleva a tensão requerida para produzir a fluência por um fator de

3 . A deformação plana equivalente da equação (6. 148) é:

1 rp  2ry  3

 KI  y

2

  , 

(6. 149)

O modelo de Dugdale (veja Figura - ) pode também ser usado para prover ainda uma outra estimativa para a extensão da zona plástica. Neste modelo a abertura da trinca por uma tensão remota uniforme  é restrita em parte por uma tensão uniforme  22   y na lâmina coesiva ou zona plástica de comprimento d. A visão da trinca ser de comprimento

2a  2 d e o emprego da superposição é deixado com o problema residual em x2  0 de p2  x1    para x1  a e p2  x1      y para a  x1  a  d . Fazendo uso da equação ( ) e

a condição que o fator de intensidade de tensão para o modelo de Dugdale deve permanecer para tensões não-singulares obtém-se: 119

       y       0 , 2 

(6. 150)

 a    sen 1  ,   a  d  

(6. 151)

onde

segue-se da equação (6. 150) que:    d  a sec    2  y 1/ 2

chamando de K I    a 

    1 ,  

(6. 152)

na ausência de fluência e tamanho  como sendo pequeno

quando comparado a  y , nós achamos a partir da equação (6. 152) a aproximação:

K d  I 8   y

2

  , 

(6. 153)

para a extensão da fluência. O último compara-se favoravelmente com a estimativa da tensão plana da equação (6. 148). Um efeito de fluência é aumentar os deslocamentos ou, equivalentemente, reduzir a rigidez do corpo em relação a um corpo idealmente elástico. Baseado apenas na solução plástica perfeitamente elástica do problema anti-plano de Hult e Mcclintock ( ), Irwin ( ) argumentou que o mesmo efeito pode ser aproximado em um corpo idealmente elástico pelo aumento do comprimento efetivo da trinca. Como uma primeira aproximação, Irwin foi quem visualizou a ponta da trinca como sendo centrada em uma zona plástica, incrementando o comprimento da trinca por um raio de zona plástica e introduzindo o comprimento efetivo da trinca. ae  a  ry ,

(6. 154)

a última expressa o que tem se tornado conhecida como a correção da zona plástica de Irwin para o comprimento da trinca. Este comprimento efetivo é usado no cálculo do fator de intensidade de tensão. Porque o fator de intensidade de tensão efetivo é uma função de ae , a qual por sua vez depende apenas da forma, uma solução iterativa é geralmente requerida para estabelecer o fator de inensidade de tensão efetivo. 120

As equações (6. 148) e (6. 149) e (6. 153) somente prover estimativas para o tamanho da zona plástica. Antes da forma da zona ser estabelecida, um critério de fluência deve ser especificado. O critério de Von Mises da equação ( ) pode ser expressa como: 2

2

 1   2    2   3    3   1 

2

 2 y2 ,

(6. 155)

para os problemas planos as tensões principais são: 1/ 2

  1   11   22   11   22 2     122  ,   2 2 2   

(6. 156)

tensão plana 0 3   , v  1   2  deformação plana

(6. 157)

e

Estritamente falando o campo das tensões a partir de uma análise elasto-plástica deveria ser usado no estabelecimento da forma da zona plástica. Nós teremos que esperar até o capitulo 5 para uma tal análise. No lugar disto, uma primeira aproximação à forma da zona pode ser obtida usando-se os campos elásticos. A introdução da equação (3.138) para o ModoI do campo de tensão introduzido na equação (6. 156) e (6. 157) leva-nos a:

1  KI      1  sen    cos   ,   2 2 r   2  2

(6. 158)

tensão plana 0   3   2vK I ,    2 r cos  2  deformação plana   

(6. 159)

e

A substituição da equação (6. 158) na equação (6. 155) prover respectivamente.

ry   

K I2  3 2 1  2v  1  cos    sen 2   , 4 y2  2 

(6. 160)

K I2  3  1  cos    sen 2   , 2  4 y  2 

(6. 161)

e

ry   

121

para as fronteiras da deformação plana e da tensão plana da tensão da zona plástica. A partir de uma comparação destas fronteiras para v  0, 3 na

Figura - 6. 27, é claro que a zona

na deformação plana é significantemente menor. As coordenadas x, y dos pontos sobre estas fronteiras são normalizadas em relação a rp   K I /  y2  /  para a tensão plana. A zona plástica baseada apenas na condição de fluência de Tresca pode ser achada em Broek ( ), e elas não diferem apreciavelmente na aparência desta. Enquanto que uma análise mais refinada fornecerá algumas configurações diferentes para a interface elásto-plástica, mas nenhuma mudança significante nos tamanhos relativos das envoltórias é esperado.

Figura - 6. 27. Contornos da zona plástica na tensão plana e deformação plana para v  0, 3 .

122

Capítulo - VII A TEORIA TERMODINÂMICA PARA A FRATURA RESUMO

7. 1 – Objetivos do Capítulo

123

7. 2 - Introdução

124

7. 3 - O Balanço Energético do Modelo de Griffith Considerando

uma

quantidade

imensurável

de

defeitos

microscópicos,

semelhantes a aqueles imaginados por Inglis, no interior do material, é possível perceber que todo o corpo estará sujeito a um campo de tensão global, dado pela superposição do campo de tensão em cada defeito. Isto fará com que o material acumule uma quantidade de energia elástica diferente daquela prevista pelo cálculo da teoria da elasticidade, para um material sem defeitos. Nestas condições é necessário considerar o tamanho do defeito crítico a partir do qual a trinca irá crescer. Percebe-se com isso que, a proposta de Inglis não foi suficiente para explicar o efeito da variação da energia elástica, à medida que um defeito cresce até o material se romper. No entanto, Griffith foi o primeiro a considerar uma abordagem mais realista do aumento no tamanho do defeito até um ponto crítico, a partir do qual o material se rompe. Ele formulou uma teoria fenomenológica, baseado no balanço termodinâmico das energias presente na fratura, conforme será visto a seguir.

6.6.4 – Interpretação do balanço energético de Griffith para a fratura baseado na geometria do campo de tensão ao redor do defeito Portanto, a partir de agora, será calculado, em particular, cada termo do balanço energético da equação (7. 46) associando-se as energias em questão como sendo dadas pela geometria elíptica da zona de acúmulo de tensões, conforme mostra a Figura – 5.5 (Livro Parte IIa Fundamentos daMecânica da Fratura Clássica) Figura - 5. 19.da seguinte forma:

i) Cálculo da variação da energia de deformação elástica armazenada no corpo, UL, causada pela introdução da trinca A energia elástica armazenada no corpo, UL, pode ser calculada admitindo que as tensões estão concentradas basicamente no volume da zona de processo ao redor do defeito (Figura – 5.5 (Livro Parte IIa Fundamentos daMecânica da Fratura Clássica)Figura - 5. 19 e Figura - 6. 28). É possível, a partir de (5. 39)(6.9), fazer a seguinte aproximação para esta energia elástica armazenada no corpo considerando-se apenas a região da concentração das linhas de força na região do defeito:

125

U L  uVelipse ,

(7.1)

onde Velipse é o volume da zona de tensão ao redor da trinca, e u é a energia elástica de deformação do corpo por unidade de volume, dada por (5. 36)(6.6). Logo a equação (7.1) torna-se em:

12 UL  Velipse . 2 E

(7.2)

O valor de UL é dado de forma aproximada pela energia elástica armazenada no volume da elipse conforme mostra a Figura – 5.5 (Livro Parte IIa Fundamentos daMecânica da Fratura Clássica)Figura - 5. 19 e Figura - 6. 28. Conforme o caso esta energia em (7.2) deve receber um sinal negativo ou positivo. Negativo se a condição inicial é de carga máxima e a condição final é o aparecimento de uma trinca, de comprimento, Lo, como resultado de uma relaxação das tensões no corpo, semelhante ao caso dos grampos fixos, onde as forças externas não realizam trabalho durante o avanço da trinca, ou seja, F = constante. Positivo se, por outro lado, o corpo já possuir uma trinca e esta deve avançar como resultado de uma carga aplicada externamente, semelhante ao caso da carga constante que juntamente com o primeiro também será estudado mais adiante. Logo

12 U L  Velipse . 2 E

(7.3)

Calculando o volume desta elipse tem-se:

Velipse  área da elipse . espessura da placa ,

(7.4)

Velipse  abe ,

(7.5)

ou seja

onde a = 2Lo e b = Lo tem-se: 2

Velipse   ( 2 Lo ).Lo e  2Lo e ,

(7.6)

Velipse = .a.b.e = 4 Lo.Lo.e.,

(7.7)

onde

De acordo com Griffith a energia elástica armazenada no corpo está concentrada 126

no volume correspondente ao cilíndro elipsoidal da

Figura - 6. 28, logo substituindo

(7.6) em (7.2) tem-se: 2

UL 

 2 Lo 12 2 2Lo e  , 2 E E

(7.8)

portanto a variação desta energia elastica armazenada é dada por:

2 2 Lo Lo e U L  . E

(7.9)

Figura - 6. 28. Defeito de tamanho crítico mínimo com uma zona de processo de geometria cilindrica elipsoidal ao seu redor, análogo a uma “bexiga”, em cujao volume está armazenado a energia elástica de deformação.

ii) Cálculo da variação na energia elástica de superficie causada pela formação das duas superficies do defeito, Uo. Esta energia é dada pelo produto da energia elástica específica de superficie, e interna ao defeito, pela área superficial do defeito, ou seja:

U    e . Aentalhe ,

(7.10)

onde Aentalhe é a área superfícial do entalhe da trinca inicial. Pois, quanto maior a área da trinca, maior será o valor de U. Logo 127

U    e .Aentalhe .

(7.11)

Mas qual é a área do entalhe? - Supondo-se que o entalhe é tão estreito que pode ser aproximado por um retângulo ( Figura - 6. 29) cuja área é dada por:

Aentalhe  perímetro do entalhe. espesssura da placa ,

(7.12)

Aentalhe  2(2 Lo )e  4 Lo e ,

(7.13)

Aentalhe = 2(2Loe) = 4Lo.e.

(7.14)

ou seja

logo

Figura - 6. 29. Area superficial do entalhe com tensão superficial e.

Portanto a energia necessária para gerar duas novas superfícies é dada substituindo (7.13) em (7.10) tem-se:

U   4 e Lo e ,

(7.15)

e a variação da enrgia de superfície é dada por:

U   4 e Lo e .

(7.16)

Somando-se as contribuições do volume e da superfície tem-se:

Ul  Ui  U L  U , e substituindo-se (7.2) e (7.10) em (7.17) tem-se:

128

(7.17)

2 Ul  Ui  Velipse   e Aentalhe . 2E

(7.18)

Substituindo-se ainda (7.8) e (7.15) em (7.17) tem-se:

 2 Lo 2 e Ul  Ui   4 e Lo e . E cujo gráfico esta mostrado na

(7.19)

Figura - 6. 30.

Figura - 6. 30. Balanço entre as energias volumétrica liberada, UL e a energia das superficie geradas, U, de uma trinca em uma fina placa plana e infinita, sujeita a uma tensão externa, ext , quando nenhum trabalho é realizado por forças externas.

129

6.6.5 - O processo de nucleação e crescimento da trinca, o tamanho crítico e a tensão de fratura A partir de agora será visualizado o processo de nucleação e crescimento de uma trinca calculando a variação da energia total durante o avanço no tamanho do defeito, da seguinte forma:

U l  

2 Velipse   e Aentalhe . 2E

(7.20)

a partir do gráfico da Figura - 6. 30 percebe-se que a posição de equilíbrio é dada por:

U l  0 ,

(7.21)

logo, a razão entre a energia armazenada no volume, equação (7.3), pela energia armazenada na superfície, equação (7.11), para o defeito em consideração, é dada por:

U L ( 2 / 2 E ) V  , U  e A

(7.22)

onde as variações no volume e na área que contém a trinca são dados por (7.7) e (7.14), logo:

V 4Lo Lo e   Lo , A 4Lo e

(7.23)

então substituindo (7.23) em (7.22) tem-se:

U L  2 4Lo Lo e ( 2 / 2 E )   Lo , U  2 E 4Lo e e e

(7.24)

U L  2 Lo  2 Lo .   U  2 E  e 2 e E

(7.25)

ou

Reescrevendo a relação (7.25) da seguinte forma,

U L ( 2 / 2 E )  2Lo , U  2 e

(7.26)

percebe-se que o termo 2 Lo mostra que a zona de acúmulo de tensões é basicamente um 130

círculo, o qual contém a densidade volumétrica de energia elástica acumulada dada por (5. 36)(6.6) compensada pela energia para formar as duas superfícies 2e, conforme mostra a Figura - 6. 28. Ao quebrar bastões de vidro em seu laboratório na Inglaterra, GRIFFITH [1920] percebeu que o crescimento de falhas, ou o avanço de uma trinca, somente é possível se só acontece quando a energia elástica liberada ou cedida ao corpo for maior do que a energia necessária gasta para formar ou criar as duas novas superfícies de fratura [ATKINS 1985]. Para entender a afirmação feita por Griffith, mencionada anteriormente, no parágrafo 2.4.2 é necessário igualar a equação (7.22) a unidade, da seguinte forma: 2

U L ( f / 2 E ) V   1. U   e A

(7.27)

onde a variação da energia elástica armazenada contida no numerador de (7.27) é dada pela equação (7.9) e a variação na energia gasta para formar as duas superfícies contida no denominador de (7.27) é dada pela equação (7.16). O critério de fratura introduzido por Griffith, pode ser matematicamente deduzido comparando a equação (7.27) com a equação (7.26), onde observa-se que o valor do tamanho crítico da trinca ou a tensão de de fratura será dado pela condição UL = U e obtendo: 2

( f / 2 E ) 2 e



1 , 2Loc

(7.28)

ou 1/ 2

 2 E   f   e   Loc 

.

(7.29)

Onde f é a tensão sob a qual a amostra se rompe em um um ensaio de tração pura. Continuando a entender o processo de nucleação, crescimento e propagação de uma trinca será visto agora o seguinte exemplo explicativo: Considere um defeito cilíndrico elipsoidal de tamanho crítico, Loc, como sendo análogo a uma “bexiga” (conforme mostra a

Figura - 6. 28). Observe que quando a

energia armazenada no volume é maior do que a energia armazenada na superfície a “bexiga” tende a “inflar-se” e o contrário faz a “bexiga” “muchar”. Portanto quando Lo = Loc (crítico) tem-se que  = f. Este resultado é o critério de fratura de Griffith que pode ser interpretado 131

da seguinte forma:

2 i) Para uma bexiga, a energia armazenada no volume, U c  Vc , é muito alta e a tensão, 2E  , é muito baixa. Logo enchendo-se a bexiga, que corresponde a aumentar a tensão externamente aplicada, consegue-se armazenar muita energia, onde o Loc da bexiga é ainda muito pequeno. Furando-se a bexiga com uma agulha, gera-se um defeito na bexiga acima de Loc (tolerável), logo ocorre um crescimento catastrófica do defeito (a bexiga estoura). A energia a ser liberada é tão grande que o som emitido pela fratura é alto (máxima potência dissipada). ii) Para uma gelatina, embora a capacidade de evitar a geração de uma nova superfície, , seja pequena, a capacidade de armazenar energia (2/2E) é muito baixa, por causa da baixa tensão de fratura, f, logo Loc é muito alto, portanto o crescimento da trinca nunca é catastrófica, no máximo é estável. Percebe-se portanto que o comprimento da trinca é crítico, quando os valores das variações na energia elástica armazenada e na energia de superfícies são iguais. Para o caso de já haver uma trinca de tamanho crítico, Loc, esta irá crescer, quando aplica-se uma carga suficiente para gerar duas novas superfícies, ou, quando a variação da energia elástica desprendida, como resultado da carga aplicada externamente, é igual a variação da energia de superfície. Este exemplo serve para explicar a situação de tensão mecânica que ocorre nos poros de um material levando-se em conta o modelo cilindrico elipsoidal destes poros, os quais podem agir como concentradores de tensão, de acordo com o modelo de Inglis. Sabe-se que a tensão de fratura, f, e o módulo elástico, E, de um material depende da sua microestrutura. Existe porém um tamanho mínimo que um defeito pode assumir no interior da microestrututra de um material. Este é dado a partir do cálculo do tamanho crítico para um monocristal do material, conforme será visto em seguida.

132

6.6.6 - O tamanho crítico mínimo da fratura A partir de agora será mostrado a existência de um tamanho mínimo, lo, de uma fratura microscópica, utilizando os resultados matemáticos dos modelos abordados até aqui. A idéia deste tamanho mínimo é util na explicação do fenômeno de nucleação de uma microtrinca e será muito útil também, nos capitulos seguintes, na definição de uma “régua mínima” para a medida fractal. Mas antes é preciso calcular, baseado nos modelos já visto até aqui (elástico, de Inglis e de Griffith), o tamanho mínimo deste defeito imaginando-se que sua geometria dever ser a de um elipsoide cilíndrico, conforme mostra a

Figura - 6. 28.

Em primeira aproximação é possível calcular o tamanho mínimo para uma fratura em um monocristal comparando-se o modelo elástico com o modelo de Griffith, isto é, tomando-se o resultado da equação (5. 45) e igualando-se com a equação (7.29) e obtendo, 1/ 2

 eE    a  o 

1/ 2

 2 E    e   Loc 

.

(7.30)

logo o menor tamanho possível, Loc = lo, para uma microtrinca em um monocristal é dado por:

lo = 2ao/  0,63662ao.

(7.31)

Este tamanho mínimo corresponde a extrair um átomo ou uma molécula da rede cristalina. Do ponto de vista da Mecânica da Fratura este não é um tamanho realista. Porque dentro do âmbito dos materiais normalmente estudados pela Mecânica da Fratura, uma minimização de defeitos em um material que chegue a um nível tão rigoso como este, não acontece na prática. Um outro cálculo um pouco mais realista pode ser feito envolvendo-se, não só o cálculo da tensão de ruptura teórica dos monocristais e a teoria de Griffith, mas também o modelo Inglis através da relação entre o raio de curvatura, r, e os eixos, a e b, de uma elipse da seguinte forma. Considerando-se uma microtrinca elíptica e alongada será feito um outro paralelo entre a teoria de Inglis e a teoria de Griffith, através da substituição da tensão de fratura dada tomando-se o resultado da equação (5. 61) e igualando-se com a equação (7.29), e obtendo-se o raio de curvatura mínimo dado por:

133

 ap

 2 E    e   Loc 

1/ 2

1/ 2

 rE e     4 a L  o oc 

,

(7.32)

ou

2 e E rE e  , Loc 4ao Loc

(7.33)

r = 8ao/  2,54648ao.

(7.34)

 K2  r  I  f   

(7. 35)

logo

Sendo

Substituindo ( ) em ( ) temos:

a0 

  K I2    8   f 

(7. 36)

Este é o o menor raio de curvatura possível, de dimensões atômicas, que pode ser encontrado para uma microtrinca elíptica em um monocristal de acordo com o modelo de Inglis. Isto leva a pensar em um tamanho mínimo para a fratura cuja relação entre o raio de curvatura, r, na extremidade da elipse e os eixos, a e b, é dado por:

r = b2/a,

(7.37)

c2 + b2 = a2,

(7.38)

e ainda para uma elipse vale:

substituindo (7.37) em (7.38) para a = Loc tem-se que:

Loc2 - rLoc - c2 = 0.

(7.39)

Resolvendo a equação (7.39) é possivel calcular o tamanho deste defeito de raio de curvatura mínimo:

Loc = ½[r  (r2 + 4c2)1/2].

(7.40)

Tomando-se o valor de r dado em (7.34) e escolhendo-se o valor de c igual ao 134

valor dado em (7.31), ou seja, c = 0,63662ao e substituindo-o na expressão (7.40), tem-se que o tamanho mínimo, Loc = lo, da microtrinca elíptica vale:,

2lo  5,39353ao.

(7.41)

Este corresponde ao tamanho do menor defeito elíptico ( Figura - 6. 28) que pode ser encontrado em um monocristal, a partir do qual uma microtrinca cresce. Calculando o valor do semi-eixo meno da elipse, b, pela substituição de (7.41) em (7.37) para a = lo e usando o valor de r dado em (7.34) tem-se:

b  2,62054ao.

(7.42)

Comparando-se o valor dado em (7.34) com o valor de (7.42) observa-se que a condição de equilíbrio de Griffith é satisfeita para uma microtrinca mínima de geometria elipsoidal quase esférica, ou seja, r  b. Para uma elipse de uma forma geral, a razão entre o semi-eixo maior, a, e o semieixo menor, b, é igual a razão entre o semi-eixo menor, b, e o seu raio de curvatura, r, numa das extremidades alongadas, ou seja,

a b  . b r

(7.43)

Na pior das hipóteses, para que uma microtrinca continue apresentando uma geometria elíptica, isto é, uma geometria alongada na direção de crescimento, afim de que a propriedade de defeito concentrador de tensão permança, deve-se fazer com que o semi-eixo menor, b, da elipse seja igual ao tamanho de seu raio de curvatura, r, isto é, de acordo com a equação (7.43) tem-se r = Loc. Isto corresponde a um círculo, que é um caso particular de uma elipse. Neste caso específico a condição de equilíbrio de Griffith é satisfeita para uma trinca mínima de geometria cilíndrica. Como, o semi-eixo maior da elipse, a, corresponde ao comprimento da trinca, a = Loc, observa-se portanto que esta trinca mínima será um círculo com diâmetro, 2Loc = 2lo = 16/, ou seja,

2lo  5,09296ao .

(7.44)

Outros valores podem ser calculados escolhendo-se o tamanho do semi-eixo menor da elipse, b, como sendo igual ao valor dado em (7.31), ou seja, b = 0,63662a o, e substituindo (7.34) em (7.43) para a = Lo = lo, obtem-se, lo  0,159152a o. Porém todos estes 135

resultados caem em valores menores do que o apresentado pelo resultado (7.41). Contudo, este resultado (7.41) ainda não é realista, porque ele não leva em conta o efeito da microplasticidade e do encruamento, resultante do empilhamento das discordâncias na matriz cristalina do material. Um modelo satisfatório foi apresentado por MISHNAEVSKY Jr. [1994] e será discutido no Capítulo – IV.

136

7. 4 - O Modelo de Griffith O estudo da fratura e crescimento de trincas lentas, ou de quase-equilíbrio (fratura estável), possui seu início com o trabalho de Griffith em 1920-1922 [GRIFFITH 1920]. Ele retomou o modelo de uma trinca elíptica em uma placa, plana e infinita, utilizado por Inglis. Pensando na questão do campo global no interior de um corpo, ele procurou elaborar sua teoria, com a finalidade de calcular qual deveria ser o tamanho do defeito crítico, capaz de dar início o crescimento de uma trinca. Com isto, ele explicou quantitativamente o decréscimo na resistência dos materiais, devido a presença de um defeito de tamanho crítico. Este cálculo contribuiu para o avanço da MFC, fornecendo as bases matemáticas para o cálculo da resistência mecânica de um material. A importância do trabalho de Griffith se reflete até os dias de hoje. Seu trabalho é considerado como o início da MFC, o que a tornou em uma ciência quantitativa do comportamento mecânico dos materiais.

7.2.1 - O balanço energético de Griffith para a fratura Considere um corpo elástico na forma de uma fina placa plana, de espessura unitária, “e”, desprezível frente a sua largura, W, e módulo elástico, E. Suponha que esta placa possui um entalhe (ou falha) central passante, através da sua espessura, na forma de uma trinca elíptica, cujo comprimento do eixo maior, que corresponde ao comprimento do entalhe, é 2Ll e ainda L0  w . Essa trinca é introduzida no corpo para se assegurar que o seu crescimento se iniciará a partir dela, e não de outro ponto qualquer da placa. Suponha ainda que esta placa está sujeita a um carregamento de tensão uniforme, , aplicada externamente (ad infinitum) nas suas extremidades, na condição de placa infinita, onde 2Ll
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