Schwingungen und Wellen Zusammenfassung Abitur

Schwingungen und Wellen Zusammenfassung Abitur

Raphael Michel 12. März 2013

1 Mechanische Schwingungen 1.1 Harmonische Schwingungen Die Federkraft ist definiert durch F = −D·s. Für die Elongation, Geschwindigkeit und Beschleunigung gilt bei Winkelgeschwindigkeit ω = 2π · f und maximaler Auslenkung von sˆ: s(t) =

sˆ · sin(ωt + ϕ0 )

(1)

v(t) = s(t) ˙ =

sˆ · ω · cos(ωt + ϕ0 )

(2)

a(t) = s¨(t) = − sˆ · ω 2 · sin(ωt + ϕ0 )

(3)

Aus F = ma und F = −Ds ergibt sich die Differenzialgleichung m · a(t) = −D · s(t), die zur Lösung hat: r

m D

(4)

1 · D · s2 2

(5)

T = 2π · Die Elongationsenergie beträgt: WElong = 1.1.1 Fadenpendel

Beim Fadenpendel wirkt mit Auslenkungswinkel δ die Kraft mg · sin δ auf das Gewicht. Wenn die horizontale Auslenkung s  l ist, so kann man s ≈ sh annähern und erhält mit sin δ = s/l schließlich den Betrag der Kraft |F | = mgs/l und daraus D = mg/l und mit Gleichung 4 schließlich: s

T = · · · = 2π

l g

(6)

1.2 Gedämpfte Schwingungen Bei Dämpfung durch konstante Kraft nehmen die Amplituden linear ab. Bei Dämpfung durch zur Schnelle v proportionale Kraft nehmen die Amplituden exponentiell ab.

1.3 Erzeugte Schwingung / Resonanz f  f0

Amplitude des Schwingers und Erregers ist ungefähr gleich, es gibt keinen Phasenunterschied.

f = f0 Die Amplitude des Schwingers ist maximal. Der Erreger eilt dem Schwinger um die Phase ∆ϕ = π/2 voraus. 1

f  f0 Amplitude des Schwingers geht gegen null. Erreger und Schwinger besitzen die Phasenverschwingung ∆ϕ = π.

2 Elektromagnetische Schwingungen 2.1 Schwingkreis Während bei mechanischen Schwingungen die Trägheit der Masse für die Schwingwirkung verantwortlich ist, ist es bei elektromagnetischen Schwingkreisen die Selbstinduktion in einer Spule.

Abbildung 1: Schwingkreis Der Kondensator wird stehts zuerst aufgeladen und entlädt sich dann. Wenn der Entladevorgang startet, wird in der Spule eine Gegenspannung induziert (Lenzsche Regel), die den Entladevorgang verlangsamt. Wenn der Kondensator voll entladen ist, ändert sich die Stromstärke wieder und es wird in der Spannung eine Spule induziert, die den Strom noch etwas aufrecht erhält (Lenzsche Regel) und den Kondensator so wieder (andersherum gepolt) auflädt. Es gilt: ˙ = 1 · Q(t) −L · I(t) C ¨ = − 1 · Q(t) L · Q(t) C√ T = 2π LC

(7) (8) (9)

3 Wellen Wellen haben eine Wellenlänge λ und eine Frequenz f . Sie breiten sich mit der Geschwindigkeit c aus. Es gilt der folgende Zusammenhang:

c=λ·f

(10)

Nach Huygens ist jeder Punkt einer Wellenfront Ausgangsort einer kreisförmigen Elementarwelle.

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3.1 Mechanische Wellen Mechanische Wellen transportieren Energie und Impuls, aber keine Materie. Sie benötigen Materie als Wellenträger. Es gibt Quer- und Längswellen.

3.2 Elektromagnetische Wellen Elektromagnetische Wellen enstehen, indem ein sich veränderndes elektrisches Feld ein dazu recht~ und B ~ sind in winklig liegendes B-Feld erzeugt, das wiederum ein E-Feld erzeugt und so weiter. E Phase. Elektromagnetische Wellen benötigen zur Ausbreitung kein Medium. Aus ρel , ρmag und E = Bv kann man die Lichtgeschwindigkeit aus Naturkonstanten berechnen: c= √

1 m ≈ 3, 0 · 108 0 · r · µ0 · µr s

(11)

Elektromagnetische Wellen sind Transversalwellen. 3.2.1 Hertzscher Dipol Wenn man einen simplen Schwingkreis, bestehend aus Kondensator und Lampe „aufbiegt“, erhält man einen linearen Hertzschen Dipol, in dem in ständigem Wechsel starke elektromagnetische Felder enstehen. Die meiste Ladung hält sich an seinen Enden auf, den größen Strom findet man in der Mitte. Die starken Wechselfelder erzeugen Magnetfelder. 3.2.2 Das elektromagnetische Spektrum Wellenlänge von bis

780 380 200 10

nm nm nm pm

10 km 10 m 1m 1 mm 780 nm 50 nm 1 nm 10 pm

Frequenz von 30 kHz 30 MHz 300 MHz 300 GHz 384 THz 789 THz 300 PHz 30 EHz

bis

30 MHz 300 MHz 30 GHz 385 THz 789 THz 300 PHz 30 EHz

WP hoton ab

Bezeichnung

120 peV 120 neV 1,2 µeV 1,2 meV 1,6 eV 3,3 eV 1 keV 120 keV

Radio-Lang-/Mittel-/Kurzwelle Radio-Ultrakurzwelle (UKW) Mikrowellen Infrarot Licht UV Röntgenstrahlung Gammastrahlen

Tabelle 1: Überblick elektromagnetisches Spektrum

3.3 Durchdringung Zwei Wellen verschiedener Ausbreitungsrichtung, die sich treffen, überlagern sich und laufen danach unverändert weiter.

3.4 Stehende Wellen Interferieren zwei Wellen entgegengesetzter Richtung und gleicher Frequenz, ensteht eine stehende Welle, in der die Knoten immer am selben Ort bleiben. Der Abstand der Knoten beträgt λ/2, die Teilchen dort sind nicht in Bewegung.

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Alle Punkte zwischen zwei benachbarten Kunden schwingen in Phase. Zwischen den Knoten befinden sich Schwingungsbäuche, die in der Mitte maximale Amplitude haben. Benachbarte Schwingungsbäuche schwingen gegenphasig. Die Amplitude ist das doppelte (bzw. aufaddierte) der entgegenlaufenden Wellen. Bei maximaler Elongation ist der Träger kurzfristig in Ruhe. WElong ist maximal, WB = 0.

3.5 Reflexion Durch Reflexion an einem Ende des Wellenträgers entsteht eine neue Welle mit entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung und erzeugt in Überlagerung mit der ursprünglichen Welle eine stehende Welle. Festes Ende Bei Reflexion an einem festen Ende hat die reflektierte Welle die negative Amplitude −ˆ s (bzw. macht einen Phasensprung von π). Freies Ende Bei Reflexion an einem freien Ende hat die reflektierte Welle die gleiche Amplitude wie die ursprüngliche.

3.6 Beugung Trifft eine Welle auf einen Spalt oder eine Kante, so breiten sich von den entsprechenden Stellen nach Huygens Elementarwällen aus und dringen so auch in den Schattenraum.

3.7 Brechung Trifft eine Welle auf eine Grenze zwischen zwei Stoffen, in denen sie unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten hat, so ändert sie ihre Richtung. n=

c1 sin α = c2 sin β

(12)

3.8 Ausbreitungsgeschwindigkeit, Dispersion 3.9 Interferenz Treffen sich zwei Wellen gleicher Ausbreitungsrichtung (und, der Vereinfachung halber gleicher Frequenz und Geschwindigkeit), so findet Interferenz statt. Zwischen Gangunterschied δ und Phasenunterschied ∆ϕ gilt der Zusammenhang: δ ∆ϕ = λ 2π

(13)

Die Grenzfälle, die hierbei entstehen können, sind konstruktive Interferenz, bei der sich die Amplituden der beiden Wellen addieren: ∆ϕ = k · 2π,

δ = k · λ,

k = 0, 1, 2, . . .

(14)

und destruktive Interferenz, bei der sich die Amplituden subtrahiert werden bzw. sich Wellen gleicher Amplitude auslöschen: ∆ϕ = (2k − 1) · π,

δ = (2k − 1) ·

4

λ , 2

k = 1, 2, 3, . . .

(15)

Abbildung 2: Doppelspalt 3.9.1 Spalt und Gitter Zur Vereinfachung werden die Wege als parallel angenommen (da a  g)! Für die Maxima (beim Mehrfachspalt Hauptmaxima) ergibt sich (siehe Abbildung 2 und Gleichung 14): k·λ , k = 0, 1, 2, . . . g dk tan αk = , k = 0, 1, 2, . . . a sin αk =

(16) (17)

Für die Minima entsprechend: sin αk =

(2k − 1) · λ , g

k = 1, 2, 3, . . .

(18)

Da die Sinusfunktion das Intervall [−1; 1] nie verlässt, ist die Anzahl der Maxima begrenzt: k·λ ≤1 g

⇒

k≤

g λ

(19)

Doppelspalt Da beim Doppelspalt αk  5◦ ist, können wir sin αk ≈ tan αk nähern und erhalten für die Position der Maxima (Achtung, dies funktioniert beim Gitter oder Mehrfachspalt nicht!): dk =

k·λ·a , g

k = 0, 1, 2, . . .

(20)

Daraus ergibt sich: λ=

dk · g , a·k

k = 0, 1, 2, . . .

(21)

Und damit der Abstand zweier Maxima: d = dk+1 − dk =

λ·a g 5

⇔

λ=

d·g a

(22)

Mehrfachspalt mit n Spalten Hauptmaxima werden schmaler, da die Minima näher daran rücken, da das erste Minimum schon bei δ = 1/n · λ auftritt. Die Lage der Maxima bleibt gleich. Hauptmaxima werden heller, da dort mehr Licht konstruktiv interferiert und weil in den Zwischenräumen weniger Licht ist (→ Energieerhaltung). Zwischen Hauptmaxima befinden sich n − 1 Minima und n − 2 Nebenmaxima. Gitter Entspricht prinzipiell dem Mehrfachspalt, aber durch die hohe Anzahl der Spalten werden die Nebenmaxima verschwindend gering. Licht unterschiedlicher Wellenlängen wird unterschiedlich stark abgelenkt, wodurch Spektren sichtbar werden. Je kleiner die Gitterkonstante, desto größer der Abstand der Maxima. 3.9.2 Einzelspalt Hinter einem Einzelspalt der Spaltbreite l findet man ebenfalls Interferenzbilder mit Minima und Maxima (siehe Abb. 3). Zur Vorstellung kann man sich die Strahlen, die durch den Spalt kommen und gebeugt werden, in verschiedene „Bündel“ einteilen, von denen sich immer solche, die zueinander den Gangunterschied λ/2 haben, sich gegenseitig auslöschen. Hierdurch kommen Minima zustande, deren Ort sich folgendermaßen bestimmen lässt: sin αk =

k·λ , l

k = 1, 2, 3, . . .

(23)

I

a α δ l

Abbildung 3: Einzelspalt

Einzelspalt spielt beim Doppelspalt mit Bei einem Doppelspalt sind immer auch zwei Einzelspalte vorhanden. An Stellen, an denen beide Einzelspalte (ungefähr) ein Minimum haben, kommt natürlich auch kein Licht an, der Doppelspalt hat dort also zusätzliche Minima.

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3.9.3 Kohärenzlänge Atome senden Licht in einzelnen Wellenzügen aus. Je wahrscheinlicher es ist, dass das Atom während dem Aussenden stößt (also z.B. bei erhöhtem Druck), destro kürzer sind die Wellenzüge. Ist der Gangunterschied größer als die Länge der Wellenzüge, überlagern sie sich nicht und zeigen keine Interferenz. 3.9.4 Interferometer Mit Interferometern kann man Längenänderungen sehr genau messen, indem man als Maßstab die Wellenlänge des verwendeten Lichts nimmt.

Spiegel

Spiegel

Teilerspiegel

Schirm (a) Michelson-Interferometer

(b) Mach-Zehnder-Interferometer

Abbildung 4: Interferometer

Michelson-Interferometer Beim Michelson-Interferometer wird das Licht an einem Teilerspiegel in zwei Wege geteilt. Bei beiden Wegen wird das Licht von einem Spiegel zurückgeworfen und am Teilerspiegel erneut, geteilt und ein Teil des Lichts so zum Schirm „geschickt“ (Abb. 4(a)). Verschiebt man einen der Spiegel sehr langsam, so werden die beiden Wege unterschiedlich lang und es kommt zu einem Wechsel von konstruktiver und destruktiver Interferenz. Beachte: Verschiebt man einen Spiegel um ∆x, so ändert sich der Gangunterschied wegen Hin- und Rückweg un δ = 2 · ∆x. Mach-Zehnder-Interferometer Beim Mach-Zehnder-Interferometer wird das Licht ebenfalls zuerst an einem Teilerspiegel zu 50% gespiegelt und zu 50% durchgelassen. Das gespiegelte Licht (Pfad U) macht durch Reflexion an optisch dichteren Medien zwei Phasensprünge von π, also insgesamt einen Phasensprung von 2π. Auf dem anderen Weg macht das Licht auf dem Weg zu Detektor 1 ebenfalls Phasensprünge von insgesamt 2π, auf dem Weg zu Detektor 2 allerdings nur einen Phasensprung von π. Am Detektor 1 entsteht also (bei gleichen geometrischen Wegen) konstruktive, am Detektor 2 destruktive Interferenz. 3.9.5 Dünne Schichten An dünnen Schichten kann man auch bei vergleichsweise kurzer Kohärenzlänge Interferenz beobachten. Bei einem Glimmerblatt wird ein Teil das Lichts an der Blattoberfläche mit Phasensprung reflektiert, ein Teil an der Blattrückseite ohne Phasensprung. Je nach Dicke des Blatts entsteht Interferenz. 7

Zusätzlich hängt der Gangunterschied vom Eintreffswinkel sowie von der Lichtgeschwindigkeit im Glimmerblatt ab. Dies ist auch der Grund für das Schillern von Seifenblasen. Zusätzlich kommt bei Seifenblasen hinzu, dass das Wasser in der Seifenhaut nach unten absinkt und dadurch oben die Dicke der Schicht gegen null geht. Dadurch wird auch der Gangunterschied dort nahe null und durch den Phasensprung entsteht destruktive Interferenz: Oben sieht eine Seifenblase dunkel aus. Durch sehr dünne Schichten auf Glas (z.B. Kryolith) kann man so auch entspiegeltes Glas herstellen.

3.10 Polarisation elektromagnetischer Wellen Die Richtung des E-Feld-Vektors einer elektromagnetischen Welle bestimmt ihre Polarisation. Ein Polarisationsfilter lässt nur die Anteile von Wellen durch, die senkrecht zu seinen Stäben stehen. Der Grund ist, dass Wellen, deren E-Feld parallel zu den Stäben des Polarisators liegt, erzwungene Schwingungen in den Stäben hervorrufen. Da die Eigenfrequenz des Stabes wesentlich kleiner ist als die Welle, hat die erzwungene Schwingung einen Phasenunterschied von π und löst ebenfalls eine Welle aus, die hinter dem Gitter mit der ursprünglichen Welle destruktiv interferiert. Die Welle wird am Gitter reflektiert. Ist die Welle schräg zum Gitter, teilt man sie in eine senkrechte und eine parallele Komponente auf.

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