Relaciones y Funciones

Matemáticas Discretas Tc1003 Relaciones y Funciones

Relaciones y Funciones OBJETIVOS Unidad Tema Subtema Objetivos IV Relaciones y funciones 4.1 Relaciones 4.2 Funciones • Entender y definir el concepto de relación así como las diferentes representaciones de una relación • Entender, aprender y utilizar las propiedades de las relaciones • Conocer y clasificar los tipos de relaciones: o De equivalencia o De orden o Función • Graficar una relación • Entender y definir el concepto de función • Conocer y utilizar los tipos de funciones o Biyectiva o Inyectiva o Suprayectiva • Conocer y obtener de una función o La función inversa o Una función compuesta • Conocer y diseñar funciones recursivas

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4.1 Relaciones 4.1.1 Definición de Relación El concepto de relación surge de manera natural en el análisis de un sistema. Un ejemplo, en los números Naturales se establece la relación “… es menor que ...”. Bajo esta relación R el número 2 se relaciona con el 3: 2 es menor que 3, pero no así al contrario (3 no es menor que 2). Una relación es binaria cuando se establece entre dos objetos. Un ejemplo: R: x < y. Una relación es un conjunto de pares ordenados. Un par ordenado (también llamada pareja ordenada) consta de dos elementos: (a, b) en donde el orden en que aparece (primero a, después b) indica la relación: a Rb de a con b. Una relación asocia un elemento de un conjunto A con un elemento de otro conjunto B o con un elemento del mismo conjunto A. Ejemplos: * Para A= {a, b, c} R1= {(a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c)} ⇒ R1 = A × A

* Para A = {España, Inglaterra, Italia} B= {Paris, Roma, Madrid} R2: (España, Paris) (Inglaterra, Roma) (Italia, Madrid) * R3: (Pepe, María) (Pepe, Laura) (Pepe, Tere)

Esta relación puede ser: ... hermano de... Otro ejemplo: A = {Familia Rodríguez} Miembro Edad Peso Estatura Papá Alfonso (A) 42 77 1.80 Mamá Beatriz (B) 40 57 1.68 Hijo 1 Carlos (C) 19 61 1.88 Hijo 2 David (D) 17 66 1.63 Hijo 3 Elena (E) 15 48 1.53 R1: … es papá de … (A, C) (A, D) (A, E) R2: … es mas alto que … (C, A) (C, B) (C, D) (C, E) (A, B) (A, D) (A, E) (B, D) (B, E) (D, E). R3: … es mas grande que … (A, B) (B, C) (C, D) (D, E), (A, C) (B, D) (C, E), (A, D) (B, E) (A, E) Ngj/v2008

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Representaciones gráficas de relaciones Gráfica de relaciones no numéricas

Diagrama de flechas 1 2 3 4 ( x, y ) ( y , y ) ( y , z ) ( z, x )

Relación: ...es más grande que... Nomenclatura para relaciones (R) • R = {( x, y ) / x < y} relación: x < y • Es menor que = {( x, y ) / x < y} • x R y si R: ...es menor que...

Definición: Sea R una relación ⇒ a R b = (a, b) ∈ R Ejemplo: R = {( x, y ), ( y, z ), ( y, y ), ( z, z )} es verdadera? no z Ry y

R z es verdadera?

Si

Si xRy, xRz, zRy, yRz, zRz, son verdaderas, ¿Cuál es la relación R? R = {(x, y ), ( x, z ), (z , y ), ( y, z ), (z , z )}

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Matemáticas Discretas Tc1003 Relaciones y Funciones Clasificación de relaciones - Relaciones de equivalencia - Relaciones de orden - Funciones 1. Relaciones de equivalencia Características (propiedades) 1) Reflexividad: xRx : ∀x ∈ S ⇒ xRx ( x está relacionada con x ) Ejemplo: El conjunto de alumnos que se encuentra en su salón de clase S = {Pedro, Javier, Esteban} R : está en la misma habitación Pedro R Pedro → reflexividad 2) Simetría: ∀x, y ∈ S . Si x R y ⇒ y R x Ejemplo: Pedro R Javier ⇒ Javier R Pedro 3) Transitiva: ∀x, y, z ∈ S Si xRy y yRz ⇒ xRz Pedro R Javier y Javier R Esteban ⇒ Pedro R Esteban Definición: Una relación R , definida sobre un conjunto S es una relación de equivalencia ⇔ tienen las tres propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva Ejemplos: R:x < y

Reflexiva?

S = {a, b, c} R = {(a, a ), (c, c ), (a, c ), (c, a )}

R:x≤ y

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