Matemática e Xadrez: O Xadrez como Instrumento de Ensino de Matemática, um estudo sobre o problema das n Rainhas.

Matemática e Xadrez: O Xadrez como Instrumento de Ensino de Matemática, um estudo sobre o problema das ‘𝒏 Rainhas’. Rodrigo Romais (FCSGN) 1 [email protected] Jason Pereira. (FCSGN)2 [email protected]

Resumo: Este documento tem por finalidade trazer ao contexto de ensino e aprendizagem de matemática utilizando o jogo do xadrez, consequentemente fazer uma reflexão da aplicabilidade do jogo no contexto escolar. Em específico, um estudo sobre o problema das 𝑛 rainhas. O xadrez e matemática são ciências exatas, ambas ricas em interdisciplinaridade no qual diversos conceitos enxadrísticos podem ser aplicados à matemática. Por sua vez, os jogos de estratégia, entre os quais o jogo de xadrez, é referência nos programas curriculares da área de matemática, pois desenvolvem capacidades necessárias para a construção do conhecimento matemático. Em se tratando de resolução de problemas, o jogo de xadrez apresenta algumas aplicações interessantes, tais como: estimativa, coordenadas cartesianas, valores absolutos, noções espaciais e lateralidade, geometria, área e perímetro, probabilidade e estatística, problemas de lógica, progressões aritméticas e geométricas. Dentre os problemas que surgem no jogo de xadrez, diversos podem ser resolvidos por meio da matemática, isto é, o jogador pode adotar uma estratégia durante uma partida utilizando meios matemáticos. Palavras-chave: Jogos de Estratégia; Práticas de Ensino de Matemática, Resolução de Problemas, Matemática e Xadrez. Abstract: This document aims to bring the educational context and mathematics learning using the game of chess, accordingly to reflect the applicability of the game in the school context. In particular, a study of the problem of n queens. The chess and mathematics are exact sciences, both rich in interdisciplinarity in which several enxadrísticos concepts can be applied to mathematics. In turn, the strategy games, including the game of chess, is a reference in the curricula of mathematics area as develop necessary capacities for the construction of mathematical knowledge. When it comes to problem solving, chess game features some interesting applications, such as estimate, Cartesian coordinates, absolute values, spatial notions and laterality, geometry, area and perimeter, probability and statistics, logic problems, arithmetic progressions and geometric. Among the problems that arise in the

1

Rodrigo Romais, Licenciado em Matemática pela Universidade do Estado de Mato Grosso (UNEMAT, Sinop, 2011), Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual Paulista “Julho de Mesquita Filho” (UNESP, Ilha Solteira, 2014). Atualmente docente do ensino superior na Faculdade de Ciências Sociais de Guarantã do Norte-MT, Rua Jequitiba, nº 40, Jardim Aeroporto. Cep.: 78520-000. E-mail: [email protected]. Maio de 2016. 2 Jazon Pereira. Graduado em Bacharel em Administração pela UFMT, professor com nível I (Ensino Médio) desde 1985, Atuou em várias escolas dos Municípios de Colíder, Nova Canaã do Norte e Sorriso, Foi Gestor Escolar no ano de 2000 a 2003. Especialista em Docência do Ensino Superior e Interdisciplinaridade pela AJES e Gestão Pública pela UAB/UFMT. Atualmente docente do ensino superior na Faculdade de Ciências Sociais de Guarantã do Norte-MT, Rua Jequitibá, nº 40, Jardim Aeroporto. CEP: 78520-000. E-mail: [email protected]. Maio de 2016. .

1

chess game, many can be solved by means of mathematics, that is, the player can adopt a strategy during a match using mathematical means. Keyword: Chess.

Strategy games; Mathematics Teaching Practice, Problem Solving, Math and

1. INTRODUÇÃO Xadrez e Matemática são ciências exatas, ambas são ricas em interdisciplinaridades, no qual diversos conceitos podem ser aplicados à matemática. Dentre algumas aplicações destacam-se a estimativa numérica e gráfica sobre coordenadas cartesianas, valores absolutos, noções espaciais e lateralidade, geometria, área e perímetro, probabilidade e estatística, problemas de lógica e regra de três simples. Progressões aritmética e geométrica. Um jogo de xadrez é composto por peças, nas cores branca e preta, denominadas por: um Rei, uma Rainha, dois Cavalos, dois Bispos, duas Torres e oito Peões de cada cor. O jogo também é composto por um tabuleiro com oito colunas e oito linhas, ao todo 64 casas intercaladas por casas de cor clara e cor escura. A Figura 1 representa a composição de um jogo de Xadrez. Figura 1 – Posição inicial das peças de Xadrez

Fonte: Próprio Autor

Uma das lendas que acerca a origem do xadrez, é a Lenda de Sissa. Sissa um brâmane, filósofo indiano, teria propositalmente inventado o jogo de xadrez para curar o tédio do rei Kaíde. O rei ficando entusiasmado com tal descoberta prometeu-lhe uma recompensa que o brâmane desejasse. Sissa pediu um grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro, duas para a segunda, quatro para a terceira, oito para a quarta e assim sucessivamente até chegar na 64ª casa do tabuleiro. O rei espantado perante um pedido aparentemente tão humilde atendeu o 2

seu desejo. Realizado alguns cálculos, reparou-se que na Índia não havia a quantidade de grãos pedida por Sissa. Tomando 𝑜 valor da soma da quantidade 𝑄 de grãos dispostos sequencialmente no tabuleiro tem-se: 𝑄 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ A quantidade de grãos 𝑄 é representado pela soma de termos de uma progressão geométrica de razão dois, isto é, é uma sequência numérica que dobra a cada termo da progressão. Transformando a somatória de 𝑄 em potências de base 2, temos: 𝑄 = 20 + 21 + 22 + 23 + ⋯ + 263 Representando 𝑄 como o somatório da progressão geométrica fica expresso conforme a equação a seguir. 63

2𝑘

𝑄= 𝑘=0

A quantidade de grãos de trigo é: 𝑄 = 264 − 1 Calcula-se: 𝑄 = 18.446.744.073.551.615 Este é um número extremamente grande. Fazendo um comparativo com a produção de grãos entre os anos de 2014/2015, segundo a Companhia Nacional de Abastecimento (CONAB), foram produzidas 209,5 toneladas de grãos no Brasil. Tomando que em média 1000 grãos tenham massa aproximadamente de 35 gramas, então seria necessário juntar a produção de grãos brasileira de quase 3100 anos para pagar a recompensa. Finaliza-se a lenda de Sissa com o desesperado rei Kaíde vendendo todos os tesouros da Índia para poder comprar grãos dos países vizinhos, ainda assim, manteve-se em débito com o brâmane Sissa. O xadrez potencializa qualidades como a atenção, a concentração, a imaginação, a memória, a competitividade, a tomada de decisões e coragem para enfrentar situações adversas encontradas numa partida de xadrez. Esta é a ferramenta fundamental que pode ser usada no ensino de matemática.

3

Kasparov, (2009) relata que o xadrez é um jogo absolutamente lógico que tem suas leis gerais que podem-se compreender intuitivamente ou trabalhando constantemente. O autor ainda relata que a partida de xadrez como uma luta enxadrística, um modelo exato da vida humana, com sua luta diária, suas crises e seus incessantes altos e baixos, e ainda, resolver novos problemas é o que mantém o ser humano evoluindo, como indivíduos e como sociedade. O presente artigo trará uma breve aplicação do jogo de xadrez e algumas relações matemáticas, em específico fazer um estudo sobre o problema das 𝑛 rainhas dispostas no espaço com área de tabuleiro 𝑛 × 𝑛.

2. ABORDAGEM MATEMÁTICA PARA PROBLEMA DAS 𝒏 RAINHAS O jogo de xadrez torna-se complexo a medida que desenvolvem-se estratégias e capacidades para obtenção de uma jogada de boa qualidade que consequentemente resulta em uma séries de ataques ao oponente e, liquida a partida. Para compreender, brevemente, a complexidade do jogo de xadrez, é interessante buscar uma estimativa que o matemático Claude Shannon realizou, conforme pode ser visto em Riihimaa, Bonsdorf e Fabel (1962), calculando o número de possibilidades de jogos que podem ser realizados. Para realizar esta estimativa é preciso fazer algumas considerações, como, tomar que uma partida de xadrez tenha em média 40 movimentos para jogador das peças brancas e 40 movimentos para jogador das peças pretas, e que, em cada um dos movimentos, cada jogador tenha em média 30 possibilidades por movimento, embora que alguns movimentos tenham menos casos de xeque, xeque-mate ou empate, casos de termino ou desistência de um dos jogadores, ou comum acordo em caso de empate. Pode-se assim adequar a seuinte expressão: (30𝑥30)40 Isto é, 90040 partidas possíveis de xadrez. Este valor é conhecido como número de Shannon. Para compreender um pouquinho mais o número de Shannon, podemos igualar este valor a uma expressão exponencial de base 10. Assim: 90040 = 10𝑥 Aplicando a propriedade de logaritmo em ambos os lados da igualdade desta equação, obtémse: 4

log 90040 = log 10𝑥 De propriedade logarítimica temos: 𝑥 = 40 × log 900 Aproximadamente, o valor da expressão é: 𝑥 = 118,17 Isto quer dizer que, o número de Shannon avalia a complexidade do jogo de xadrez estimado em aproximadamente 10118 . Atualmente, com deduções mais precisas e mais elaboradas, este valor é avaliado em 10123 . Fazendo uma breve comparação com o número de átomos existentes no universo que é um número estimado entre 4 × 1078 e 6 × 1079 . Compreendendo que, o desafio das 𝑛 Rainhas torna-se complexo a medida em que, tome um 𝑛 extremamente grande, 𝑛 → ∞, isto é, com 𝑛 tendendo ao infinito, compreenderá em um desafio complexo e extremamente demorado. Por se tratar do jogo de xadrez, cujo tabuleiro apresenta linhas e colunas limitadas, não infinitas, aqui serão analisados aplicações ao problema das Rainhas quando 𝑛 = 8, especificando que, o tamanho usual do tabuleiro de xadrez é 8 × 8 (oito linhas e oito colunas), então o número máximo de Rainhas que poderão ser dispostas no tabuleiro. Com isso, limita-se o problema das “𝑛 Rainhas” para o problema das “8 rainhas”.

2.1. Problema das 8 Rainhas Este é considerado um dos problemas clássicos da matemática, desafiantes e desafiados buscam uma solução, ou mais de uma solução para o problema das 8 Rainhas. O problema se configura em como dispor oito Rainhas em um tabuleiro de xadrez de modo que as Rainhas não se ataquem. Para realizar o desafio, não há a necessidade de conhecer o jogo de xadrez, ou o movimento de todas as peças, entretanto, pelo menos conhecer o movimento da Rainha que tras vida a este clássico problema. A Rainha movimenta-se para todas as direções do tabuleiro, nas linhas horizontais, nas linhas verticais e nas linhas diagonais, conforme expressa a Figura 2. Figura 2 – Movimento da Rainha no tabuleiro de Xadrez.

5

Fonte: Próprio Autor

Como representado na Figura 2, a Rainha pode se movimentar para todas as direções em movimento simplificado e único. Inicialmente o desafio dispensa os conhecimentos matemáticos que serão adquiridos com o tempo, começar-se-á pelo método de indução de tentativa e erro, que consiste em tentativas consecutivas, destacando que duas ou mais Rainhas não devam estar nem na mesma linha, nem coluna, nem diagonal, pois estarão se confrontando uma com a outra. O desafiado poderá iniciar com o princípio do problema utilizando tabuleiros menores, pois o desafio das 𝑛 Rainhas apresenta solução quando 𝑛 ≥ 4. Em outras palavras, o desafio das 𝑛 Rainhas apresenta soluções para tabuleiros a partir da dimensão 4 × 4, para 4 Rainhas, assim como, dimensão 5 × 5, para 5 Rainhas, dimensão 6 × 6, para 6 Rainhas e dimensão 7 × 7, para 7 Rainhas. O número de Raínhas é igual a dimensão do tabuleiro, de modo geral, dimensão 𝑛 × 𝑛, para 𝑛 Rainhas.

2.2 Soluções para o Problema das 8 Rainhas O problema foi publicado pela primeira vez em 1948 pela revista alemã Schachzeitung, fundamentada pelo enxadrista Max Bazzel. Por volta de 1950 o matemático Johann Karl Friedrich Gauss e o astrônomo Heinrich Schumacher descobriram 12 soluções fundamentais para o problema das 8 Rainhas. As 12 soluções fundamentais são expressas por meio de vetores, conforme Tabela 1. Tabela 1 – Representação Vetorial das 12 Soluções Fundamentais Soluções Fundamental 1

(1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4) 6

2

(1, 6, 8, 3, 7, 4, 2, 5)

3

(2, 4, 6, 8, 3, 1, 7, 5)

4

(2, 5, 7, 1, 3, 8, 6, 4)

5

(2, 5, 7, 4, 1, 8, 6, 3)

6

(2, 6, 1, 7, 4, 8, 3, 5)

7

(2, 6, 8, 3, 1, 4, 7, 5)

8

(2, 7, 3, 6, 8, 5, 1, 4)

9

(2, 7, 5, 8, 1, 4, 6, 3)

10

(3, 5, 2, 8, 1, 7, 4, 6)

11

(3, 5, 8, 4, 1, 7, 2, 6)

12

(3, 6, 2, 5, 8, 1, 7, 4) Fonte: Próprio Autor

Por meio de rotação e reflexão, estas 12 soluções fundamentais geram 92 soluções distintas. A ideologia para completar o desafio das 8 Rainhas é que o aprendiz tente encontrar alguma solução por tentativa e erro, eliminando linhas, colunas e diagonais. Para o desafiado que já conhece o jogo de xadrez, ou pelo menos conhece os movimento das peças do jogo, por intuição lógica, poderá partir com o pressuposto de posicionar as Rainhas em formato de “L”, movimento característico do deslocamento do Cavalo no jogo de xadrez, basicamente um movimento que não deixe uma Rainha, nem na mesma linha, nem na mesma coluna e nem na mesma diagonal. Este procedimento fará com o aprendiz resolva o problema com maior rapidez, encontrando pelo menos uma solução. Uma solução deste problema é representava por um vetor, como por exemplo, a solução fundamental 1 é (1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4), conforme visto na Tabela 1, indica que cada elemento representa uma posição de cada coluna, a primeira coluna posicionará uma Rainha na primeira linha, na segunda coluna posicionará uma Rainha na quinta linha, assim sucessivamente até a oitava coluna. A Figura 3 representa a solução fundamental 1.

7

Figura 3 –Solução Fundamental: (1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4).

Fonte: Próprio Autor

A Figura 3 exibe a primeira solução fundamental obtida por Gauss e Schumacher, onde podese observar que as 8 Rainhas estão dispostas no tabuleiro 8 × 8 e não estão se atacando. A partir desta solução encontrada, por meio de rotação e reflexão, é possível obter novas soluções.

8

2.2.1. Solução por Reflexão A obtenção de uma nova solução para oproblema das 8 Rainhas poderá ser por meio da reflexão do eixo 𝑥, e do eixo 𝑦. A simetria gerada pela reflexão divide a figura ao meio em duas partes iguais, com efeito de um espelho, como pode ser visto na Figura 4. Figura 4 - Reflexão gerada por espelho

Fonte: Prórpio Autor

A partir da Figura 4 é possível gerar reflexões em torno dos seus eixos de simetria, caracterizando a reflexão diferentes para o eixo vertical, para o eixo horizontal e para o eixo diagonal. A reflexão em torno o eixo vertical ocorre conforme elucida a Figura 5, referente a solução fundamental 1 explicitada na Tabela 1. Figura 5 – Solução gerada por reflexão vertical

Fonte: Próprio Autor.

A Figura 5 representa a obtenção de uma nova solução a partir da solução fundamental 1 (1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4) que gerou (4, 2, 7, 3, 6, 8, 5, 1) por reflexão vertical. 9

A reflexão em torno o eixo horizontal ocorre conforme expressa a Figura 6, referente a solução fundamental 1 vista na Tabela 1. Figura 6 – Solução gerada por reflexão horizontal

Fonte: Próprio Autor.

A Figura 6 representa a obtenção de uma nova solução a partir da solução fundamental 1 (1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4) que gerou (8, 4, 1, 3, 6, 2, 7, 5) por reflexão hotizontal. A reflexão em torno o eixo diagonal ocorrerá em torno da diagonal principal ou da diagonal secundária. A Figura 7 ocorre a reflexão da solução fundamental 1, referente a Tabela 1, pelo eixo da diagonal principal. Figura 7 – Solução gerada por reflexão da diagonal principal

Fonte: Próprio Autor.

A Figura 7 representa a obtenção de uma nova solução a partir da solução fundamental 1 (1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4) que gerou (6, 3, 5, 7, 1, 4, 2, 8) por reflexão da diagonal principal. Intuitivamente, obtêm-se a solução (1, 7, 5, 8, 2, 4, 6, 3) por reflexão da diagonal secundaria. 10

2.2.2. Solução por Simetria Outra possibilidade para gerar uma nova solução a partir das 12 soluções fundamentais é por meio da simetria, realizando uma, duas ou três rotações em sentido horário ou anti-horário. A Figura 8 rotaciona a solução fundamental 1, conforme Tabela 1, no sentido horário. Figura 8 – Solução gerada por rotação do tabuleiro

Fonte: Próprio Autor.

A Figura 8 apresenta uma nova solução apenas girando o tabuleiro. A solução fundamental 1 (1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4) gerou (8, 2, 4, 1, 7, 5, 3, 6), se rotacionar novamente, uma nova solução será encontrada.

3. CONCLUSÃO Em linhas gerais, o jogo de xadrez potencializa qualidades como concentração e a atenção, desenvolve raciocinio lógico essencialmente pela tomada de decisões, aspectos fundamentais para o ensino e aprendizagem de matemática. Conceitos exadrísticos podem ser utilizados no ensino de matemática, pois desenvolvem capacidades para construção do conhecimento. As aplicações de xadrez no ensino de matemática são uteis para a formação do indivíduo, das quais, desenvolve a construção do conhecimento, Pode-se dizer que o procedimento inverso acontece quando um jogador pode adotar a matemática como estratégia para obter lances de melhor qualidade. Considerando que o jogo de xadrez intensifica as ações para o pensamento racional, também 11

desperta para o pensamento humano e social, no que diz respeito a tomada de decisões, escolher a melhor decisão vai muito além do que movimentar uma peça no espaço de um tabuleiro. REFERENCIAS KASPAROV, G. Xeque Mate: A Vida é um Jogo de Xadrez. Elsevier. São Paulo, 2007. RIIHIMAA, O.; BONSDORFF, E.; FABEL, K. – “Ajedrez y matemáticas”. Barcelona, Espanha. 1962.

12