LISTA DE EXERCÍCIOS. Implicações e Teoria dos Conjuntos, Conectivos Lógicos

LISTA DE EXERC´ICIOS Matem´ atica B´ asica Humberto Jos´ e Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/

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Implica¸c˜ oes e Teoria dos Conjuntos, Conectivos L´ ogicos [01] Considere os seguintes predicados (x representa um n´ umero real): p:

0 ≤ x2 ≤ 1

e

q:

0≤x≤1

.

(a) Determine os conjuntos A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q}.

(b) A senten¸ca p ⇒ q ´e verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!

(c) A senten¸ca q ⇒ p ´e verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!

(d) A senten¸ca p ⇔ q ´e verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!

(e) Determine os conjuntos C = {x | x satisfaz p ∨ q} e D = {x | x satisfaz p ∧ q}.

[02] Considere os seguintes predicados (x representa um n´ umero real): p:

x2 ≤ 1

e

q:

x≤1

.

(a) Determine os conjuntos A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q}.

(b) A senten¸ca p ⇒ q ´e verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!

(c) A senten¸ca q ⇒ p ´e verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!

(d) A senten¸ca p ⇔ q ´e verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!

(e) Determine os conjuntos C = {x | x satisfaz p ∨ q} e D = {x | x satisfaz p ∧ q}.

[03] Determine todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado: (x − 1 = x − 4) ou (x − 1 = −x + 4). [04] Determine todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado: [(x − 4 < x − 2) ou (x − 4 > −x + 1)] e [(x − 4 < −x + 1) ou (x − 4 > x − 1)]. [05] Considere o lan¸camento simultˆaneo de dois dados equilibrados, um azul (A) e outro verde (V). O espa¸co amostral deste experimento ´e o conjunto Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. Para os pontos de Ω, considere que a primeira coordenada represente o resultado do lan¸camento do dado azul e a segunda coordenada represente o resultado do lan¸camento do dado verde. Escreva explicitamente cada evento indicado a seguir. 1

(a) A = face do dado azul ´e primo e face do dado verde ´e par. (b) B = face do dado azul ´e primo ou face do dado verde ´e par. [06] Dˆe exemplos de predicados p, q e r tais que (p ∧ q) ∨ r 6= p ∧ (q ∨ r), isto ´e, dˆe exemplos de predicados p, q e r tais que {x | x satisfaz (p ∧ q) ∨ r} 6= {x | x satisfaz p ∧ (q ∨ r)}. [07] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, p ∧ q ⇒ q ∧ p. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstra¸c˜ao caso a senten¸ca seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. [08] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, p ∧ q ⇒ p. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstra¸c˜ao caso a senten¸ca seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. [09] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, p ∧ q ⇒ q. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstra¸c˜ao caso a senten¸ca seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. [10] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, p ⇒ p ∧ q. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstra¸c˜ao caso a senten¸ca seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. [11] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, p ∨ q ⇒ q ∨ p. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstra¸c˜ao caso a senten¸ca seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. [12] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, p ⇒ p ∨ q. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstra¸c˜ao caso a senten¸ca seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. [13] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, q ⇒ p ∨ q. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstra¸c˜ao caso a senten¸ca seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. [14] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, p ∨ q ⇒ p. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstra¸c˜ao caso a senten¸ca seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. [15] Considere dois predicados p e q. Sejam A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q}. Qual condi¸c˜ao deve satisfazer os conjuntos A e B para que a senten¸ca p ⇔ q seja verdadeira? Justifique sua resposta [16] Uma das implica¸c˜oes abaixo ´e falsa! Qual e por quˆe? Ou elas s˜ao todas verdadeiras e temos uma prova de que 0 = 1? x=0

(1)

=⇒

x ∙ (x − 1) = 0

(2)

=⇒

x−1=0

(3)

=⇒

x = 1.

[17] Uma das implica¸c˜oes abaixo ´e falsa! Qual e por quˆe? Ou elas s˜ao todas verdadeiras e temos uma prova de que 2 = 1? (1)

(2)

(3)

x = 2 =⇒ x ∙ (x − 1) = 2 ∙ (x − 1) =⇒ x2 − x = 2 ∙ x − 2 =⇒ x2 − 2 ∙ x = x − 2 (4)

=⇒ x ∙ (x − 2) = x − 2

(5)

=⇒ x = 1. 2

[18] Verdadeira ou falsa? Se x ∈ R e x2 − 3 x + 2 < 0, ent˜ao x > 0. Justifique sua resposta! [19] Verdadeira ou falsa? Se p ´e um n´ umero primo e p > 2, ent˜ao p + 1 n˜ao ´e um n´ umero primo. Justifique sua resposta!

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Respostas dos Exerc´ıcios Aten¸c˜ao: as respostas apresentadas aqui n˜ao possuem justificativas. Vocˆe deve escrevˆe-las! [01] (a) A = [−1, 1] e B = [0, 1]. (b) A senten¸ca p ⇒ q ´e falsa, pois A 6⊂ B (x = −1/2 ´e um contraexemplo, uma vez que x = −1/2 satisfaz a hip´otese p, mas x = −1/2 n˜ao satisfaz a tese q). (c) A senten¸ca q ⇒ p ´e verdadeira, pois B ⊂ A (todo n´ umero x que satisfaz a hip´otese q tamb´em satisfaz a tese p, logo n˜ao existem contraexemplos). (d) A senten¸ca p ⇔ q ´e falsa, pois a implica¸c˜ao p ⇒ q ´e falsa (veja o Item (b)). (e) C = A ∪ B = [−1, 1] e D = A ∩ B = [0, 1]. [02] (a) A = [−1, 1] e B =]−∞, 1]. (b) A senten¸ca p ⇒ q ´e verdadeira, pois A ⊂ B (todo n´ umero x que satisfaz a hip´otese p tamb´em satisfaz a tese q, logo n˜ao existem contraexemplos). (c) A senten¸ca q ⇒ p ´e falsa, pois B 6⊂ A (x = −2 ´e um contraexemplo, uma vez que x = −2 satisfaz a hip´otese q, mas x = −2 n˜ao satisfaz a tese p). (d) A senten¸ca p ⇔ q ´e falsa, pois a implica¸c˜ao q ⇒ p ´e falsa (veja o Item (c)). (e) C = A ∪ B =] − ∞, 1] e D = A ∩ B = [−1, 1]. [03] x ∈ R satisfaz o predicado (x − 1 = x − 4) ou (x − 1 = −x + 4) se, e somente se, x = 5/2. [04] x ∈ R satisfaz o predicado [(x − 4 < x − 2) ou (x − 4 > −x + 1)] e [(x − 4 < −x + 1) ou (x − 4 > x − 1)] se, e somente se, x < 5/2. [05] (a) A = {((2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6)}.

(b) B = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}.

[07] Verdadeira. Dica: use teoria dos conjuntos para demonstrar a senten¸ca. [08] Verdadeira. Dica: use teoria dos conjuntos para demonstrar a senten¸ca. [09] Verdadeira. Dica: use teoria dos conjuntos para demonstrar a senten¸ca. [10] Falsa. Se p ´e o predicado “x = 1” e q ´e o predicado “x = 2”, ent˜ao “x = 1 ⇒ x = 1 ∧ x = 2” ´e uma senten¸ca falsa (x = 1 ´e um contraexemplo). [11] Verdadeira. Dica: use teoria dos conjuntos para demonstrar a senten¸ca. [12] Verdadeira. Dica: use teoria dos conjuntos para demonstrar a senten¸ca. [13] Verdadeira. Dica: use teoria dos conjuntos para demonstrar a senten¸ca. [14] Falsa. Se p ´e o predicado “x = 1” e q ´e o predicado “x = 2”, ent˜ao “x = 1 ∨ x = 2 ⇒ x = 2” ´e uma senten¸ca falsa (x = 1 ´e um contraexemplo). [15] Lembramos que a senten¸ca p ⇔ q ´e verdadeira se, e somente se, as senten¸cas p ⇒ q e q ⇒ p s˜ao simultaneamente verdadeiras. J´a sabemos que p ⇒ q ´e verdadeira se, e somente se, A ⊂ B e que q ⇒ p ´e verdadeira se, e somente se, B ⊂ A. Desta maneira, p ⇔ q ´e verdadeira se, e somente se, A = B. [16] Apenas a implica¸c˜ao (2) ´e falsa! [17] Apenas a implica¸c˜ao (5) ´e falsa!

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[18] Verdadeira. [19] Verdadeira.

Texto composto em LATEX2e, HJB, 04/09/2016.

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