Departamento de Análise Instituto de Matemática, UFF Outubro de 2014

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador) Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel Simboliza¸c˜ ao

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

O paradoxo Conclus˜ oes

Departamento de An´alise Instituto de Matem´atica, UFF Outubro de 2014

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador) Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

O paradoxo da mentira

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador) Hist´ oria do Problema

Sum´ario Nossa conversa tratar´a dos seguinte itens: • Hist´ oria do Problema.

Contornando o poss´ıvel Simboliza¸c˜ ao

• Contornando o poss´ıvel.

O paradoxo Conclus˜ oes

• Simboliza¸c˜ ao. • O paradoxo. • Conclus˜ oes.

Vou mostrar para vocˆes como eu entrei no mundo da L´ogica atrav´es do exame de um paradoxo.

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador) Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel Simboliza¸c˜ ao

Na aula de Filosofia O professor S´ergio, de Filosofia, apresentou para a turma o exerc´ıcio a seguir. Conversar com um professor de Matem´atica sobre a seguinte quest˜ao:

O paradoxo Conclus˜ oes

Afirmo: n˜ao ´e poss´ıvel ao homem alcan¸car a verdade das coisas. Estou caindo em contradi¸c˜ao? Justifique.

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador) Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel

Email para Petrucio

Resolvi a quest˜ao do seguinte modo:

Simboliza¸c˜ ao O paradoxo

Achei que a afirma¸c˜ao ´e uma contradi¸c˜ao...

Conclus˜ oes

Se n˜ao ´e poss´ıvel ao homem alcan¸car a verdade das coisas, como ele poderia saber disso? E se, por outro lado, ´e poss´ıvel, como ele est´a afirmando que n˜ao ´e?

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

Semin´ario do Grupo de L´ogica

Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

Recebi a informa¸c˜ao que o Grupo de L´ ogica da UFF ia apresentar um semin´ario sobre a afirma¸c˜ao e o paradoxo que eu encontrei.

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador) Hist´ oria do Problema

Semin´ario do Grupo de L´ogica

Me interessei pelo assunto e fui at´e l´a para participar.

Contornando o poss´ıvel Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

No semin´ario, reescrevemos a afirma¸c˜ao em Linguagem L´ogica e, a partir da´ı, encontramos uma maneira formal de obter o paradoxo.

No final, analisamos as suposi¸c˜ oes que est˜ao impl´ıcitas no racioc´ınio que leva ao paradoxo.

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador) Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

Poss´ıvel

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

Contornando o poss´ıvel Vamos considerar que frases do tipo

Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel

´e poss´ıvel a x alcan¸car y

Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

se referem a objetos abstratos x e y (por exemplo, homem e verdade). Decidimos considerar, ao inv´es dos objetos abstratos, as coletividades X e Y correspondentes (por exemplo, o conjunto de todos os homens e o conjunto de todas as verdades).

O Paradoxo da Verdade

Contornando o poss´ıvel

Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador) Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel

Para representarmos a possibilidade de uma maneira simples, dadas as coletividades X e Y , vamos considerar que frases do tipo

Simboliza¸c˜ ao O paradoxo

´e poss´ıvel a X alcan¸car Y

Conclus˜ oes

afirmam que

algum elemento x de X est´a relacionado com algum elemento y de Y pela rela¸c˜ao “x alcan¸ca y ”.

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

Contornando o poss´ıvel Assim, a frase

Hist´ oria do Problema

´e poss´ıvel ao homem alcan¸car a verdade

Contornando o poss´ıvel Simboliza¸c˜ ao

ou seja

O paradoxo Conclus˜ oes

´e poss´ıvel h alcan¸car v ser´a tratada como a frase existe x de H e existe y de V , tais que x alcan¸ca y onde H ´e o conjunto de todos os homens e V ´e o conjunto de todas as verdades.

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador) Hist´ oria do Problema

Vocabul´ario l´ogico n˜ao : ¬

e: ∧

ou : ∨

se...ent˜ao : →

para todo : ∀

existe : ∃

Contornando o poss´ıvel Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

(a) B. Russell

(b) A.N. Whitehead

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

Vocabul´ario espec´ıfico t1 afirma t2

:

t1 ` t2

t ´e homem

:

tH

t1 alcan¸ca t2

:

t1 At2

t ´e verdade

:

tV

t1 ´e de t2

:

t1 Dt2

t ´e coisa

:

tC

Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

Onde t, t1 e t2 s˜ao termos quaisquer.

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

Frase 1

Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel

´e poss´ıvel ao homem alcan¸car a verdade das coisas

Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

∃x{xH ∧ ∃y [yC ∧ ∃z(zV ∧ zDy ∧ xAz)]}

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

Frase 2

Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel

n˜ao ´e poss´ıvel ao homem alcan¸car a verdade das coisas

Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

¬∃x{xH ∧ ∃y [yC ∧ ∃z(zV ∧ zDy ∧ xAz)]}

O Paradoxo da Verdade

Frase final

Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

n˜ao ´e poss´ıvel ao homem alcan¸car a verdade das coisas Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel

ap´ os aplica¸c˜ oes de v´arias equivalˆencias l´ ogicas, se torna

Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

¬ϕ

:

∀x{xH → ∀y [yC → ∀z(zV ∧ zDy → ¬xAz)]}

O Paradoxo da Verdade

O paradoxo da verdade

Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador) Hist´ oria do Problema

eu ` ¬ϕ

Contornando o poss´ıvel Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

Mas temos dois casos: ϕ ∨ ¬ϕ

Vamos examinar cada um deles...

O Paradoxo da Verdade

O paradoxo da verdade

Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador) Hist´ oria do Problema

Caso 1: Suponhamos ϕ.

Contornando o poss´ıvel Simboliza¸c˜ ao O paradoxo

Como eu ` ¬ϕ, temos

Conclus˜ oes

¬ϕV

Da´ı, temos ϕ ∧ ¬ϕ, contradi¸c˜ao.

O Paradoxo da Verdade

O paradoxo da verdade

Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador) Hist´ oria do Problema

Caso 1: Suponhamos ϕ.

Contornando o poss´ıvel Simboliza¸c˜ ao O paradoxo

Como eu ` ¬ϕ, temos

Conclus˜ oes

¬ϕV

Da´ı, temos ϕ ∧ ¬ϕ, contradi¸c˜ao.

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

O paradoxo da verdade Caso 2: Suponhamos ¬ϕ:

Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel

∀x{xH → ∀y [yC → ∀z(zV ∧ zDy → ¬xAz)]}

Simboliza¸c˜ ao O paradoxo

Como vale para todos, vale para eu e, da´ı, temos:

Conclus˜ oes

euH → ∀y [yC → ∀z(zV ∧ zDy → ¬euAz)] Como euH, temos:

∀y [yC → ∀z(zV ∧ zDy → ¬euAz)]

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

O paradoxo da verdade Caso 2: Suponhamos ¬ϕ:

Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel

∀x{xH → ∀y [yC → ∀z(zV ∧ zDy → ¬xAz)]}

Simboliza¸c˜ ao O paradoxo

Como vale para todos, vale para eu e, da´ı, temos:

Conclus˜ oes

euH → ∀y [yC → ∀z(zV ∧ zDy → ¬euAz)] Como euH, temos:

∀y [yC → ∀z(zV ∧ zDy → ¬euAz)]

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

O paradoxo da verdade Como vale para todos, vale para ¬ϕ e, da´ı, temos:

Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel

¬ϕC → ∀z(zV ∧ zD¬ϕ → ¬euAz)

Simboliza¸c˜ ao O paradoxo

Como ¬ϕC , temos:

Conclus˜ oes

∀z(zV ∧ zD¬ϕ → ¬euAz) Como vale para todos, vale para ¬ϕ e, da´ı, temos:

¬ϕV ∧ ¬ϕD¬ϕ → ¬euA¬ϕ

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

O paradoxo da verdade Como vale para todos, vale para ¬ϕ e, da´ı, temos:

Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel

¬ϕC → ∀z(zV ∧ zD¬ϕ → ¬euAz)

Simboliza¸c˜ ao O paradoxo

Como ¬ϕC , temos:

Conclus˜ oes

∀z(zV ∧ zD¬ϕ → ¬euAz) Como vale para todos, vale para ¬ϕ e, da´ı, temos:

¬ϕV ∧ ¬ϕD¬ϕ → ¬euA¬ϕ

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

O paradoxo da verdade Como supomos ¬ϕ, temos:

Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel

¬ϕV E, para termos o paradoxo, necessitamos de ¬ϕD¬ϕ...

Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

Pois, da´ı, temos ¬ϕV ∧ ¬ϕD¬ϕ e assim, ¬euA¬ϕ contradizendo a hip´ otese inicial, ou seja, euA¬ϕ, dado que quando eu afirmo um enunciado, eu o alcan¸co.

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

O paradoxo da verdade Como supomos ¬ϕ, temos:

Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel

¬ϕV E, para termos o paradoxo, necessitamos de ¬ϕD¬ϕ...

Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

Pois, da´ı, temos ¬ϕV ∧ ¬ϕD¬ϕ e assim, ¬euA¬ϕ contradizendo a hip´ otese inicial, ou seja, euA¬ϕ, dado que quando eu afirmo um enunciado, eu o alcan¸co.

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

O paradoxo da verdade Como supomos ¬ϕ, temos:

Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel

¬ϕV E, para termos o paradoxo, necessitamos de ¬ϕD¬ϕ...

Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

Pois, da´ı, temos ¬ϕV ∧ ¬ϕD¬ϕ e assim, ¬euA¬ϕ contradizendo a hip´ otese inicial, ou seja, euA¬ϕ, dado que quando eu afirmo um enunciado, eu o alcan¸co.

O Paradoxo da Verdade

Suposi¸co˜es impl´ıcitas

Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador) Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel

Dado:

temos:

eu ` ¬ϕ

¬ϕV

—

euH

—

¬ϕC

—

¬ϕD¬ϕ

eu ` ¬ϕ

euA¬ϕ

Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador)

Conclus˜oes Com pensamento e bom-senso podemos formular paradoxos...

Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel Simboliza¸c˜ ao

A an´alise l´ogica de um paradoxo formulado explicita as suposi¸c˜oes impl´ıcitas que o garantem.

O paradoxo Conclus˜ oes

Com este trabalho, aprendi a analisar racioc´ınios formulados intuitivamente de modo a evitar dificuldades envolvidas, simboliz´a-los e analis´a-los usando t´ecnicas da L´ogica Matem´atica. Pretendemos agora, estudar mais e aplicar estas t´ecnicas em outras situa¸c˜oes.

O Paradoxo da Verdade Mariana Ferreira (ICJ) Petrucio Viana (orientador) Hist´ oria do Problema Contornando o poss´ıvel Simboliza¸c˜ ao O paradoxo Conclus˜ oes

Chegamos ao fim... H´a muito mais sobre paradoxos e l´ ogica do que podemos abordar em uma u ´nica apresenta¸c˜ao... Esperamos ver vocˆes numa pr´ oxima oportunidade...