Bachelor-Arbeit. Bewerten von Rainbow-Optionen: Ein Dualitätsansatz. Rolf Waeber 14. Juli 2006

Bachelor-Arbeit Bewerten von Rainbow-Optionen: Ein Dualitätsansatz

Rolf Waeber 14. Juli 2006

Bachelor-Arbeit am Departement Mathematik der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich Betreuer: Prof. Dr. Philipp J. Schönbucher

Bewerten von Rainbow-Optionen

§ INHALTSVERZEICHNIS

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung

2

2 Theorie 2.1 Problemformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Dynamisches Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 5

3 Cox-Ross-Rubinstein-Modell 3.1 Ein Underlying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Mehrere Underlyings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Numerische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 7 8

4 Regressionsbasierende Methode 10 4.1 High und Low Bias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2 High-Biased Schätzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.3 Low-Biased Schätzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Dualitätsansatz 5.1 Theoretische Überlegungen 5.2 Obere Grenze . . . . . . . . 5.3 Implementation . . . . . . . 5.4 Numerische Beispiele . . . .

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6 Abschliessende Bemerkungen

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13 14 15 17 18 21

7 Appendix 22 7.1 Appendix A: Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7.2 Appendix B: Geometrische Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7.3 Appendix C: Regressionstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

Bewerten von Rainbow-Optionen

§ 1 EINLEITUNG

1 Einleitung In dieser Arbeit stelle ich drei Methoden vor, wie amerikanische Optionen auf mehrdimensionale Underlyings (sog. Rainbow-Optionen) bewertet werden können. Solche Optionen sind besonders interessant um Portfolios mit mehreren Aktien abzusichern. Deterministische Methoden, welche auf einer Baum- oder Netzstruktur aufbauen, können benutzt werden, um Optionen mit wenigen Underlyings zu bewerten. Das Cox-RossRubinstein Modell ist eine solche Baummethode, welche ich im Abschnitt 3 vorstelle. Für höher-dimensionale Probleme sind deterministische Methoden wegen dem Fluch der Dimension nicht mehr geeignet. Eine gute Alternative, um Optionen auf höher-dimensionale Underlyings zu bewerten, sind Monte-Carlo Simulationen. Auf eine regressionsbasierende Monte-Carlo Methode gehe ich im Abschnitt 4 ein. Eine weitere Monte-Carlo Simulation ist der Dualitätsansatz von Haugh und Kogan [6]. Diesen stelle ich im Abschnitt 5 näher vor und er bildet das Ziel dieser Arbeit. Herrn Prof. Dr. Philipp J. Schönbucher danke ich bestens für den interessanten Themenvorschlag und die stetige Unterstützung während dieser Arbeit.

2 Theorie 2.1

Problemformulierung

Eine europäische Option ist ein Vertrag zwischen einem Verkäufer (Bank) und einem Käufer (Kunde). Dieser Vertrag gibt dem Kunde das Recht, aber nicht die Pflicht, ein Underlying St (Aktie) zum Zeitpunkt T zum Preis K (Strike) zu kaufen (Call), resp. zu verkaufen (Put). Um diesen Vertrag zum Zeitpunkt t zu erwerben, muss der Kunde einen gewissen Betrag Vt der Bank bezahlen. Vt ist der Wert oder auch die Derivaten-Sicherheit der Option. Mit diesem Betrag ist es für die Bank möglich, die Option zu hedgen (d.h. den Betrag in Geld, resp. Aktien zu investieren, so dass der erwartete Verlust gleich Null ist). Beim Bewerten von Optionen wird versucht diesen Betrag Vt zu bestimmen. Eine amerikanische Option kann im Gegensatz zu einer europäischen Option jederzeit ausgeübt werden und nicht nur am Verfallsdatum T . Beim Bewerten von amerikanischen Optionen muss deshalb nicht nur eine Derivaten-Sicherheit bzgl. dem Strike-Preis berechnet werden. Es muss ein Optimierungsproblem gelöst werden, indem eine Strategie des optimalen Stoppens gefunden wird. Ich werde mich im Folgenden auf Bermudian Optionen beschränken. Das sind Optionen welche zu M verschiedenen Zeitpunkten T = {1, . . . , M } ausgeübt werden können, also eine Verbindung zwischen europäischen und amerikanischen Optionen. Zur Vereinfachung nehme ich an, dass die Ausübungszeitpunkte gleichmässig über das Intervall [0, T ] verteilt sind. Diese Annahme ist jedoch nicht zwingend. Eine Arbitrage-Möglichkeit bietet sich, falls Gewinn ohne Risiko realisiert werden kann. In einem gut funktionierenden und genügend liquiden Markt löst sich eine ArbitrageMöglichkeit schnell auf. Deshalb ist die Annahme eines Arbitrage-freien Markt sinnvoll.

2

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§2

THEORIE

Dies ist eine sehr populäre Annahme beim Bewerten von Optionen, mehr dazu in Hausmann et al. [7]. Der Zeitpunkt 0 ist nicht in T enthalten, weil im Arbitrage-freien Markt das Ausüben der Option zum Zeitpunkt 0 keinen Sinn macht. Falls die Anzahl der möglichen Ausübungszeitpunkten M → ∞, entspricht die diskrete Bermudian Option einer stetigen Amerikanischen Option. Bermudian Optionen zu betrachten hat den Vorteil, dass mit diskreter Zeit und diskreten Modellen gerechnet werden kann. Um mit stetiger Zeit arbeiten zu können, sind Modelle nötig, welche auf stetigen Prozessen aufbauen. Ein wichtiges Hilfsmittel dabei ist die berühmte Black-Scholes-Formel, hierfür verweise ich auf Hausmann et al. [7] und Shreve [9]. Zur Notation: Den Zeitfaktor t werde ich stets im Index schreiben, z.B. St := S(t) oder Vt := V (t). Betrachte ich diskrete Zeitpunkte ti , i = 0, . . . , M so werde ich dies ebenfalls abkürzen, z.B. Si := Sti = S(ti ) oder Vi = Vti = V (ti ). Beim Bewerten von Optionen sind Grundkenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie nötig. Die wichtigsten Definitionen und Eigenschaften, die ich benützen werde, sind im Appendix A enthalten. Das Underlying des Derivats zum Zeitpunkt t wird als Zustand Xt im Zustandsraum Ω dargestellt. Bei einer Option auf d Aktien ist z.B. Ω = Rd>0 . Zum Zeitpunkt t dürfen keine zukünftigen Informationen vorhanden sein, dies wird durch die Informationsstruktur als Filtration {Ft : t ∈ {0, . . . , M }} sichergestellt. Es ist bekannt [7], dass im Arbitragefreien Markt unter gewissen Bedingungen ein eindeutiges risiko-neutrales Wahrscheinlichkeitsmass P existiert. Der Preisprozess des Underlyings wird als Ft -adaptierter MarkovProzess {Xt ∈ Ω : t ∈ {0, . . . , M }} dargestellt. Die Pay-Off Funktion ht = h(Xt ) ist ein nicht-negativer adaptierter Prozess der den Betrag angibt, der beim Ausüben der Option zum Zeitpunkt t fällig wird. Wird z.B. eine Call-Option auf eine Aktie Xt = St betrachtet, so besitzt diese ht = max(St − K, 0) als PayOff Funktion oder die Pay-Off Funktion einer Put-Option auf das Minimum von 2 Aktien ist ht = max(K − min(StA , StB ), 0), wobei StA , resp. StB der Wert der Aktie A, resp. B zum Zeitpunkt t bezeichnet. Beim Optionenbewerten gehe ich stets davon aus, dass Geld auch risikofrei angelegt resp. geliehen werden kann (z.B. in Sparbücher oder Obligationen). Diese Anlage wird R t mit der Zinsrate rt kontinuierlich verzinst, d.h. der Zinsprozess hat die Form: Bt = exp( 0 rs ds). Damit Geldbeträge zu zwei verschiedenen Zeitpunkten t1 , t2 miteinander verglichen werden R t2 können, muss mit dem Zinsprozess B∆t = exp( t1 rs ds) diskontiert werden. Ich nehme an, dass der Pay-Off Prozess integriebar ist in dem Sinne dass   ht E0 max < ∞ (1) t∈T Bt erfüllt ist, wobei ich die Notation Et [·] = E[·|Ft ] verwende. Das bedeutet Et [·] entspricht dem Erwartungswert bedingt auf die bekannten Informationen bis zum Zeitpunkt t. Der Erwartungswert wird bzgl. dem risiko-neutralen Wahrscheinlichkeitsmass berechnet. Die Bank muss davon ausgehen, dass der Kunde zum optimalen Zeitpunkt seine Option ausüben wird. Jedoch kann der Kunde seine Entscheidung, die Option auszuüben oder nicht,

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Bewerten von Rainbow-Optionen

§2

THEORIE

nur auf Informationen stützen, die bis zum momentanen Zeitpunkt t vorhanden sind. Deshalb wird eine amerikanische Option folgendermassen bewertet   Bt hτ . (2) Vt = sup Et Bτ τ ∈Θt Wobei Θt die Menge der Stoppzeiten mit Werten in T ∩ [t, T ] ist. Hier wird vorausgesetzt, dass die Option bis zum Zeitpunkt t noch nicht ausgeübt worden ist. Eine Option zum heutigen Zeitpunkt 0 zu bewerten entspricht also dem Lösen des Problems   hτ V0 = sup E0 . (3) Bτ τ ∈Θ0 Verpasst der Kunde, die Option zum optimalen Zeitpunkt auszuüben, so sinkt der erwartete Wert der Option. Aus diesem Grunde ist der stochastische Preisprozess Vt , einer amerikanischen Option, ein Supermartingal. Bei europäischen Optionen tritt das Problem des optimalen Stoppens nicht auf, der Preisprozess Vt kann als Martingal dargestellt werden. Die nächste Proposition 2.1 enthält elementare Eigenschaften des Bewertungsprozesses (2). Zudem stellt sie sicher, dass Vt ein fairer Preis für ein amerikanisches Derivat ist. Proposition 2.1 (Eigenschaften des Preisprozesses Vt ) Der Preisprozess Vt aus (2) hat folgende Eigenschaften: i.) Vt ≥ ht

∀ t ∈ R≥0 ;

ii.) Der diskontierte Prozess

Vt Bt

ist ein Supermartingal;

Yt iii.) Sei Yt ein anderer Prozess welcher Yt ≥ ht für alle t ∈ R≥0 erfüllt und für welchen B t ein Supermartingal ist, dann gilt: Yt ≥ Vt ∀ t ∈ R≥0 . 

Eigenschaft (ii) garantiert, dass ein Händler mit Anfangskapital V0 ein hedging Portfolio konstruieren kann, dessen Wert Vt für alle t beträgt. Eigenschaft (i) besagt, dass, wenn der Händler dieses Portfolio konstruiert, er das Amerikanische Derivat gehedged (abgesichert) hat. Das heisst (i) und (ii) garantieren, dass der Preis für den Anbieter des Derivats akzeptierbar ist. Eigenschaft (iii) besagt, dass der Preis für den Verkäufer nicht höher als nötig ist. Dadurch ist der Preis für den Käufer und den Anbieter des Derivats fair. Proposition 2.1 sagt auch aus, dass der Preisprozess Vt das minimale Supermartingal ist, dass den Pay-Off Prozess ht dominiert. Auf dieser Eigenschaft baut der Dualitätsansatz im Abschnitt 5 auf. Beweis s. Shreve [9] oder Folgerungen aus Theorem 5.1.



Das Bewerten von amerikanischen Optionen hängt also davon ab, wie der Erwartungswert in (2) berechnet wird und wie die optimale Stoppzeit gefunden wird. Dieses Problem kann im diskreten Fall als dynamisches Programm formuliert werden.

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2.2

§2

THEORIE

Dynamisches Programm

Um das dynamische Programm in einer kompakten Schreibweise anzugeben, ist es nützlich, den Fortsetzungswert einzuführen. Definition 2.2 (Fortsetzungswert) Der Fortsetzungswert Ci entspricht dem Wert der Option zum Zeitpunkt i, bedingt dass die Option zum Zeitpunkt i nicht ausgeübt wird     Vi+1 Vi+1 (Xi+1 ) Ci (x) := E |Xi = x = Ei (4) B∆t B∆t ∀ x ∈ Ω, Wobei der Faktor

1 B∆t

i = 0, . . . , M − 1.

der Diskontierungsfaktor ist, mit B∆t = exp(

R ti+1 ti

rs ds).

Der Fortsetzungswert kann rekursiv berechnet werden: CM ≡ 0;     hi+1 (Xi+1 ) Ci+1 (Xi+1 ) |Xi = x , , Ci (x) = E max B∆t B∆t

(5) (6)

für i = M − 1, . . . , 1. Zum Zeitpunkt 0 entspricht der Fortsetzungswert genau dem Optionswert: V0 = C0 .

(7)

Damit ist die Option bewertet. Der Bewertungsprozess Vi definiert den Fortsetzungswert durch (4), umgekehrt kann auch der Bewertungsprozess durch den Fortsetzungswert berechnet werden: Vi (x) = max {hi (x), Ci (x)}

(8)

für i = 1, . . . , M . Um eine amerikanische Option zu bewerten, wird versucht der Fortsetzungswert (4) möglichst gut zu approximieren. Dies kann rekursiv durch (6) realisiert werden, allerdings ist es nicht einfach, den bedingten Erwartungswert zu berechnen. Darin liegt auch die Hauptschwierigkeit beim Bewerten von amerikanischen Optionen. Im nächsten Abschnitt gebe ich eine deterministische Methode zum Bestimmen dieses Erwartungswertes an, im Abschnitt 4 benutze ich eine Monte-Carlo Methode um den Erwartungswert zu simulieren. Ist eine Approximation Cˆi an den Fortsetzungswert bekannt, kann ein Stoppzeit durch τˆ = min{i ∈ 1, . . . , m : hi (Xi ) ≥ Cˆi (Xi )}

(9)

definiert werden. Diese liefert uns eine Stoppstrategie: Sobald der momentane Pay-Off grösser ist als der Fortsetzungswert soll die amerikanische Option ausgeübt werden.

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§3

COX-ROSS-RUBINSTEIN-MODELL

3 Cox-Ross-Rubinstein-Modell Eine berühmte deterministische Methode, um Optionen zu bewerten, ist das BinomialbaumModell von Cox, Ross und Rubinstein (CRR) [3]. Ein Vorteil dieses Modells liegt darin, dass es im Grenzwert (d.h. für N → ∞) gegen das Black-Scholes Modell konvergiert. Daher können Eigenschaften aus dem Black-Scholes Modell auf das CRR-Modell angewandt werden. Das CRR-Modell kann sowohl für europäische wie auch amerikanische Optionen benützt werden. Ich beschreibe die Methode im eindimensionalen Fall. Die Erweiterung auf den mehrdimensionalen Fall folgt dann relativ einfach. Dabei wird allerdings ersichtlich, wie sich der Fluch der Dimensionen in der Optionen-Bewertung auswirkt. Die Baum-Methode ist eine exakte Methode in dem Sinn, dass sie einen einzigen Wert Vt der Option wiedergibt und nicht bei jeder Simulation eine neue Approximation wie MonteCarlo Methoden. Das grosse Problem der Baum-Methode ist, dass für höher-dimensionale Probleme der Rechenaufwand enorm gross wird. Das N -Periodenmodell braucht für d Underlyings eine Rechenleistung von O(N d+1 ).

3.1

Ein Underlying

Im CRR-Modell wird der zugrundeliegende (Aktien-)Kurs durch einen Baum simuliert. Die Wurzel des Baumes ist S0 , im ersten Schritt steigt der Kurs mit Wahrscheinlichkeit p um den Faktor u (für ’up’) oder sinkt mit Wahrscheinlichkeit q = (1 − p) um den Faktor d (für ’down’). Im zweiten Schritt geht es dann von uS0 , resp. dS0 wieder mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten hinauf, resp. hinunter. Da du = ud gilt, ist das Modell wiedervereinigend, der Kurs kann nach zwei Schritten 3 mögliche Werte annehmen (vgl. Abb. 1).

Abbildung 1: Baum-Konstruktion nach Cox-Ross-Rubinstein, Abbildung aus [3] Allgemein kann das Underlying nach N Schritten N + 1 verschiedene Werte annehmen. Die Faktoren u und d müssen die Bedingung 0 < d < 1+r < u erfüllen, wobei r der konstante risikofreie Zinssatz ist. Ohne dieser Bedingung wäre die Voraussetzung des Arbitrage-freien Marktes verletzt.

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§3

COX-ROSS-RUBINSTEIN-MODELL

Der Fortsetzungswert Ci (x) kann im eindimensionalen Binomialmodell berechnet werden durch   Vi+1 (Si+1 ) 1 = [pVi+1 (uSi ) + qVi+1 (dSi )] . (10) Ci (Si ) = Ei B∆t B∆t Es bleibt zu klären wie die Wahrscheinlichkeiten p und q, sowie die Faktoren u und d bestimmt werden. Die Wahrscheinlichkeit p wird mit der no-Arbitrage Bedingung und einem geeigneten δ-hedging zu er∆t − d p= (11) u−d ermittelt, q berechnet sich durch q = 1 − p. Die Faktoren u und d können zum Beispiel aus dem Black-Scholes Modell abgeleitet werden: u = eσ

√

∆t

,

d=

1 , u

(12)

wobei σ der Volatilität des Underlyings entspricht. Eine genaue Herleitung dieser Faktoren würde den Rahmen dieser Arbeit sprengen, deshalb verweise ich hierzu auf Hausmann et al. [7] und Shreve [9]. Mit Hilfe des Fortsetzungswertes von (10) und des dynamischen Programms durch (6) und (8) kann jetzt ein Algorithmus zum Bewerten von amerikanischen Optionen im CRRModell angegeben werden. Hier mache ich die Annahme dass N = M ist, man könnte auch N ≥ M annehmen. Algorithmus 3.1 (CRR-Algorithmus) i.) Schritt: Setze VN (SN ) = max {hN (SN ), 0}; ii.) Schritt: Berechne rekursiv   1 Vi (Si ) = max hi (Si ), [pVi+1 (uSi ) + qVi+1 (dSi )] B∆t

(13)

für i = N − 1, . . . , 1; iii.) Schritt: Setze V0 = B1∆t [pV1 (uS0 ) + qV1 (dS0 )]. Dies entspricht dem Optionswert nach dem CRR-Modell. ◦ Um diesen Algorithmus zu berechnen sind 1 + 2 + . . . + (N + 1) = Rechenschritte nötig.

3.2

(N +1)(N +2) 2

= O(N 2 )

Mehrere Underlyings

Um ein amerikanisches Derivat mit mehreren Underlyings zu bewerten, kann immer noch eine Baum-Methode verwendet werden. Bei unabhängigen Underlyings lassen sich die theoretischen Überlegungen der CRR-Methode bzgl. Wahrscheinlichkeit p und Faktoren u und d ohne Probleme auf mehrere Dimensionen ausweiten. Sollen die Underlyings abhängig voneinander sein, müssen die Wahrscheinlichkeiten p und q anders definiert werden. Boyle [2] schlägt einen modifizierten CRR-Algorithmus vor, in welchen auch Abhängigkeiten zwischen den Underlyings eingebaut werden können.

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§3

COX-ROSS-RUBINSTEIN-MODELL

Problematisch ist, dass der Baum schnell wächst und daher diese Methode nur unter grossem rechnerischen Aufwand möglich ist. Der Baum wächst exponentiell in der Anzahl Underlyings. Wird ein Derivat mit d Underlyings betrachtet, so wächst der Zustandsbaum in N Schritten zu einem Baum mit N d Blätter. Der Algorithmus benötigt also Laufzeit O(N d+1 ). Dieses Problem ist in der Statistik bekannt unter dem Begriff Fluch der Dimensionen.

Abbildung 2: Baum-Konstruktion für 2 Underlyings, Abbildung aus [4] Abb. 2 zeigt die Baum-Konstruktion für 2 Underlyings. Aus jedem Knoten gibt es 4 Möglichkeiten weiterzugehen, wobei ein paar Möglichkeiten wieder identisch sind. Damit wächst der Baum quadratisch mit Anzahl der Schritte. Bei amerikanischen Optionen, wo möglichst viele Ausübungszeitpunkte nötig sind um das stetige Modell anzunähern, ist eine Baum-Methode in höheren Dimensionen nicht mehr rechenbar.

3.3

Numerische Beispiele

Das erste numerische Beispiel, welches ich betrachte, ist eine amerikanische Put-Option auf das Minimum zweier unabhängiger Aktien A und B. Die benutzten Parameter sind K = 50, σA = 0.25, σB = 0.15, T = 1, M = 12, Dividendenausschüttung δ = 0.08 und der risikofreie Zinssatz ist r = 0.05. T = 1 kann interpretiert werden, dass die Laufzeit der Option ein Jahr dauert, M = 12 sagt damit aus, dass die Option einmal pro Monat ausgeübt werden kann. Da die Dividende vom Aktienkurs abgezogen wird, muss die Dividendenausschüttung ebenfalls von dem Verlauf der Aktie abgezogen werden. Konkret: Beim Aufbau des Zustandsbaums muss r durch (r − δ) ersetzt werden.

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S0A , S 0B 40 50 60

§3

COX-ROSS-RUBINSTEIN-MODELL

Cox-Ross-Rubinstein 14.95 7.30 2.58

Boyle 14.96 7.31 2.59

Tabelle 1: Werte V0 einer amerikanische Put-Option auf das Minimum von 2 Aktien Tabelle 1 gibt den Wert V0 der Option zu verschiedenen Startwerten S0A und S0B wieder (hier: S0A = S0B ). Die Resultate von dem CRR-Algorithmus und dem Algorithmus von Boyle [2] stimmen fast überein. Abb. 3 stellt den Optionspreis in Abhängigkeit von verschiedenen Startwerten S0A und S0B dar.

Abbildung 3: Werte V0 einer amerikanische Put-Option auf das Minimum von 2 Aktien Als zweites Beispiel betrachte ich eine amerikanische Call-Option auf den geometrischen Mittelwert von 2 unabhängigen Aktien A und B. Die Parameter bleiben die gleichen wie im ersten Beispiel. S0A , S 0B 40 50 60

Cox-Ross-Rubinstein 0.09 2.11 10

Boyle 0.09 2.10 10

Tabelle 2: Werte V0 einer amerikanische Call-Option auf den geometrischen Mittelwert von 2 Aktien

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§4

REGRESSIONSBASIERENDE METHODE

4 Regressionsbasierende Methode Eine Alternative zu deterministischen Algorithmen sind Monte-Carlo Algorithmen (MC). Diese verwenden zusätzlich zum ’normalen’ Input noch einen randomisierten Input. Angewandt auf Derivate bedeutet das, dass der zugrundeliegende Wert Xt ∈ Ω des Derivats als ein stochastischer Prozess simuliert wird und anhand dieser Simulation das Derivat bewertet wird. Eine populäre Methode, um Aktienkurse zu simulieren, ist die geometrische Brownsche Bewegung GBM(µ, σ 2 ). Die Definition und die wichtigsten Eigenschaften der GBM sind im Appendix B enthalten. Es gibt auch andere stochastische Prozesse, die sinnvoll wären, um Aktienkurse zu simulieren, z.B. ein Prozess mit Sprüngen. Für Details zur Simulation von Aktienkursen verweise ich auf Glasserman [5]. MC-Methoden sind besonders bei höher dimensionalen Problemen und beim Bewerten von exotischen Optionen unverzichtbare Werkzeuge, da MC-Methoden nicht so stark vom Fluch der Dimensionen eingeschränkt werden wie deterministische Algorithmen. Glasserman [5] betrachtet verschiedene Monte-Carlo Methoden, um amerikanische Optionen zu bewerten. Ich gehe auf eine davon, nämlich die regressionsbasierende Methode, näher ein. Im Abschnitt 5 werde ich den Dualitätsansatz von Haugh und Kogan [6], welcher auch Glasserman betrachtet, erläutern. Glasserman, Haugh und Kogan verwenden das Prinzip von high- und low-biased Schätzer, um Vertrauensintervalle für den Optionspreis zu berechnen. Dieses erkläre ich kurz.

4.1

High und Low Bias

Gesucht ist ein Schätzer Vˆ0 für den wahren Optionswert V0 . Es ist jedoch schwer einen Schätzer ohne Bias zu konstruieren, d.h. einen Schätzer der E[Vˆ0 ] = V0

(14)

erfüllt. Glasserman schlägt vor, zwei biased-Schätzer zu kombinieren und so ein Vertrauensintervall zu erhalten, das fast so gut wie das Vertrauensintervall eines unbiased-Schätzer ist. Angenommen, es existiert ein high- und ein low-biased Schätzer Vˆ0 und vˆ0 in dem Sinne, dass E[Vˆ0 ] ≥ V0 ≥ E[ˆ v0 ] (15) gilt. Zusätzlich existieren Vertrauensintervalle (z.B. 95%) von dem high- wie auch von dem low-biased Schätzer: Vˆ0 ± H0 ; vˆ0 ± L0 . (16) Ein Vertrauensintervall für den Optionspreis V0 kann konstruiert werden, indem vom low-biased Schätzer die untere Grenze und vom high-biased Schätzer die obere Grenze zu einem neuen grossen Intervall zusammengefasst werden (vgl. Abb. 4)   vˆ0 − L0 , Vˆ0 + H0 . (17) Sind die beiden Intervalle der high- und low-biased Schätzer 95%-Vertrauensintervalle, so ist das neue Intervall (17) mindestens ein 90%-Vertrauensintervall (sind die Schätzer

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§4

REGRESSIONSBASIERENDE METHODE

Abbildung 4: Vertrauensintervall aus low- und high-biased Schätzer symmetrisch bzgl. ihrem Mittelwert, dann ist es mind. ein 95%-Vertrauensintervall). Die Reduktion auf ein 90%-Vertrauensintervall geschieht, weil die 5%, welche jeweils ausserhalb der 95%-Vertrauensintervalle der beiden biased Schätzer liegen, total links von vˆ0 − L0 und total rechts von Vˆ0 + H0 liegen könnten.

4.2

High-Biased Schätzer

In diesem Abschnitt zeige ich, wie Glasserman in [5] den high-biased Schätzer für die regressionsbasierende Methode konstruiert. Jeder Fortsetzungswert Ci (x) zum momentanen Zustand x in (4) ist der bedingte Erwartungswert von dem diskontierten Optionswert Vi+1 (Xi+1 ), also eine lineare Funktion abhängig von der Zufallsvariable Xi+1 . Dies liefert ein Schätzverfahren: Ci wird approximiert durch eine Linearkombination von bekannten Funktionen zum Zustand x, mit linearer Regression (Kleinste-Quadrate) werden die besten Koeffizienten der Linearkombination geschätzt. Der Fortsetzungswert (4) kann, für K verschiedene bekannte Basisfunktionen ψr : Rd → R und Konstanten βir , r = 1, . . . , K, dargestellt werden als: K

Ci (x) = E[

X 1 Vi+1 (Xi+1 )|Xi = x] = βir ψr (x). B∆t

(18)

r=1

Dies kann in Vektorschreibweise ausgedrückt werden als Ci (x) = βiT ψ(x),

(19)

mit βi = (βi1 , . . . , βiK )T ,

ψ(x) = (ψ1 (x), . . . , ψK (x))T .

(20)

Angenommen (18) gilt, dann kann der Vektor βi durch βi = (E[ψ(Xi )ψ(Xi )T ])−1 E[ψ(Xi )

1 −1 Vi+1 (Xi+1 )] ≡ Dψi DψV i . B∆t

(21)

bestimmt werden. Dψi ist eine K × K - Matrix (angenommen nicht singulär) und DψV i ist ein Vektor der Länge K. Die Variablen-Paare (Xi , Xi+1 ) innerhalb des Erwartungswertes haben die gemeinsame Verteilung des Zustands der zugrundeliegenden Markov-Kette zu den Zeitpunkten i und i + 1. (21) ist eine Folgerung aus dem linearen Regressionsmodell, eine Herleitung von (21) ist im Appendix C enthalten. Wir betrachten b unabhängige Pfade (Xij , . . . , Xmj ), j = 1, . . . , b und nehmen für den Moment an, dass die Werte Vi+1 (Xi+1,j ) bekannt sind. Damit können die Koeffizienten βir

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§4

REGRESSIONSBASIERENDE METHODE

aus den beobachteten Paare (Xij , B1∆t Vi+1 (Xi+1,j )), j = 1, . . . , b geschätzt werden, d.h. vom aktuellen Zustand der Markov-Kette und dem diskontierten Wert der Option zum Zeitpunkt i + 1. Der Kleinste-Quadrate Schätzer von βi ist somit ˆ −1 D ˆ ψV i , βˆi = D ψi

(22)

ˆ ψi und D ˆ ψV i die geschätzten Gegenstücke von Dψi und DψV i sind. wobei D ˆ ψi ist die K × K - Matrix mit qr-Eintrag Genauer, D b

X ˆ ψi (q, r) = 1 D ψq (Xij )ψr (Xij ) b

(23)

j=1

ˆ ψV i ist der K-Vektor mit r-tem Eintrag und D b

X 1 ˆ ψV i (r) = 1 Vi+1 (Xi+1,k ). D ψr (Xik ) b B∆t

(24)

k=1

In Wirklichkeit sind die Vi+1 unbekannt und müssen durch Rückwärtsrekursion analog dem dynamischen Programm (6) geschätzt werden. Mit den geschätzten Koeffizienten βˆi kann dann der Fortsetzungswert, für alle x aus dem Zustandsraum Rd>0 , geschätzt werden Cˆi (x) = βˆiT ψ(x).

(25)

Jetzt kann ein Algorithmus angegeben werden, um den Optionspreis zu schätzen. Algorithmus 4.1 (Regressionsbasierender Bewertungs-Algorithmus) i.) Schritt: Simuliere b unabhängige Pfade X1j , . . . , Xmj , j = 1, . . . , b, von der zugrundeliegende Markov-Kette (z.B. durch GBM (µ, σ 2 )); ii.) Schritt: In den Endknoten setze Vˆmj = hm (Xmj ), j = 1, . . . , b; iii.) Schritt: Wende Rückwärtsinduktion für i = m − 1, . . . , 1 an, (a) Für gegebene Vˆi+1 (Xi+1,j ), j = 1, . . . , b, benutze Regression wie oben beˆ ψV i zu schätzen; ˆ −1 D schrieben um βˆi = D ψi (b) setze dann n o Vˆi (Xij ) = max hi (Xij ), Cˆi (Xij ) , j = 1, . . . , b, mit Cˆi wie in (25); h  i iv.) Schritt: Setze Vˆ0 = B1∆t 1b Vˆ1 (X11 ) + · · · + Vˆ1 (X1b ) .

(26)

◦

Vˆ0 ist der high-biased Schätzer für den Optionspreis V0 . Dieser Ansatz wurde von Tsitsiklis und Van Roy [8] enwickelt, sie zeigen, dass, falls die Bedingung (18) für alle i = 1, . . . , m−1 gilt, der geschätzte Wert Vˆ0 gegen den wahren Wert V0 (X0 ) für b → ∞ konvergiert. Für festes b ist dieser Schätzer jedoch high-biased: In (26) kann der zugrundeliegende Markov-Prozess, anstatt eines beliebigen Pfades, nur einer der b möglichen Pfade annehmen. Die Koeffizienten βi sind jedoch genau auf diese b Pfade optimal angepasst, d.h. im Schritt iii.) (b) besitzt man einen Vorteil gegenüber einem beliebigen Pfades des Markov-Prozesses Xt . Daraus resultiert der high Bias in Vˆ0 .

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4.3

§ 5 DUALITÄTSANSATZ

Low-Biased Schätzer

Mit Hilfe des high-biased Schätzer und dessen Schätzung des Fortsetzungswert Cˆi (x) durch (25) für jeden Schritt i und für jeden Zustand x ∈ R, kann jetzt eine Stoppstrategie definiert werden. Diese Strategie ist suboptimal, deswegen wird der Schätzer, welcher durch Ausüben nach dieser Stoppstrategie definiert wird, low-biased sein. Der Fortsetzungswert Cˆi (x) kann durch den high-biased Schätzer für alle x ∈ Ω berechnet werden. Jetzt wird ein neuer Pfad der Markov-Kette X0 , X1 , . . . , Xm simuliert. Dieser Pfad ist unabhängig von den Pfaden, welche benutzt wurden, um Cˆi (x) zu schätzen. Die Stoppzeit kann definiert werden durch n o τˆ := min i ∈ 1, . . . , m : hi (Xi ) ≥ Cˆi (Xi ) . (27) Dies ist der erste Zeitpunkt, zu welchem der Ausübungswert grösser ist als der Fortsetzungswert. Der low-biased Schätzer für einen einzigen Pfad ist der diskontierte Pay-Off vˆ :=

1 hτˆ (Xτˆ ), Bτˆ

(28)

der beim Ausüben der Option nach dieser Stoppstrategie fällig wird. Wird (28) auf mehrere unabhängige Wege angewendet, so liefert der Durchschnitt dieser Schätzungen einen stabilen low-biased Schätzer. Durch mehrmaliges Anwenden vom high- und low-biased Schätzer können Mittelwerte und Standardabweichungen der Schätzer bestimmt werden. Dies liefert uns 2 Vertrauensintervalle, welche wie in (17) zu einem einzigen Vertrauensintervall zusammengefasst werden können. Die numerischen Beispiele zur regressionsbasierenden Methode folgen im nächsten Abschnitt, gemeinsam mit den numerischen Beispielen des Dualitätsansatzes.

5 Dualitätsansatz Das Ziel des Dualitätsansatzes, welcher von Haugh und Kogan [6] vorgeschlagen wurde, ist eine obere und untere Grenze des Optionspreises zu bestimmen. Dazu benötigt die Methode eine Approximation an den wahren Optionswert. Je besser diese Approximation ist, desto besser sind die oberen und unteren Grenzen. Die untere Grenze wird direkt, durch suboptimales Ausüben der Option anhand der Approximation, berechnet (vgl. low-biased Schätzer (28)). Die obere Grenze wird anhand eines Dualitätsproblem berechnet. Dieses benützt die Eigenschaften des Preisprozesses, welche in Proposition 2.1 zusammengefasst sind. Die obere Grenze wird definiert als minimales Supermartingal, welches den Preisprozess Vt noch dominiert. Haugh und Kogan verwenden neurale Netzwerke und low-discrepancy Sequenzen um die Approximation des Optionswertes zu erhalten. Ich werde die regressionsbasierende MCMethode aus Abschnitt 4 gebrauchen.

13

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5.1

§ 5 DUALITÄTSANSATZ

Theoretische Überlegungen

Der Dualitätsansatz ist aufgegliedert in 3 Schritte: 1. Schritt: Berechnen einer Approximation an den gegenwärtigen Marktpreis der Option als Funktion der Zeit und des Zustands des Underlyings. Es wird ein dynamischer Algorithmus benötigt, um den Fortsetzungswert zu berechnen. 2. Schritt: Schätzen der unteren Grenze des Optionswertes durch Simulation der approximierten Ausübungsstrategie basierend auf dem Fortsetzungswert von Schritt 1 (vgl. (28)). 3. Schritt: Basierend auf der Optionspreis-Approximation wird ein Supermartingal-Prozess definiert, anhand von diesem und mit Hilfe von MC-Simulation wird eine obere Grenze geschätzt. Dieser Schritt basiert auf der neuen Dual-Repräsentation der amerikanischen Option. Schritt 1 und 2 werden berechne ich anhand des regressionsbasierenden Algorithmus aus Abschnitt 4. Schritt 3 erläutere ich jetzt genauer. Im ’klassischen’ Sinn ist das Bewerten einer amerikanischen Option das Lösen des folgenden Problems (vgl. (3))   hτ V0 = sup E0 . (29) Bτ τ ∈Θ0 Jetzt wird für ein beliebiges Ft -adaptiertes Supermartingal π die Dualfunktion F (t, π) durch    F (t, π) hs := Et − πs max + πt (30) Bt s∈{[t,T ]∩T } Bs definiert. Das Dualitätsproblem ist, die Dualfunktion zum Zeitpunkt 0 über alle Supermartingale π zu minimieren. Sei U0 der geschätzte Wert mit dem Dualitätsansatz, dann gilt    ht U0 = inf F (0, π) = inf E0 max − πt + π0 . (31) π π t∈T Bt Das Infinum wird über alle Ft -adaptierten Supermartingale π genommen. Theorem 5.1 zeigt, dass der optimale Wert des Dualitätsproblem und die Lösung des ’klassischen’ Problems übereinstimmen. Theorem 5.1 (Dualitätsrelation) Der Wert des ’klassischen’ Optimierungsproblem (29) und der Wert des Dualitätsproblem (31) stimmen überein, d.h. V0 = U0 . Mehr noch, eine optimale Lösung des Dualitätsproblem Vt , wobei Vt der Bewertungsprozess der amerikanischen Option (31) ist gegeben durch πt∗ = B t ist   hτ Bt Vt = sup Et . (32) Bτ τ ∈Θt

14

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§ 5 DUALITÄTSANSATZ

Beweis Für ein beliebiges Ft -adaptiertes Supermartingal π gilt:  V0 = sup E0 τ ∈Θ0



 hτ = sup E0 − πτ + πτ Bτ τ ∈Θ0   hτ ≤ sup E0 − πτ + π0 Bτ τ ∈Θ0    ht ≤ E0 max + π0 . − πt t∈T Bt

hτ Bτ



(33)

Die erste Ungleichung folgt aus dem Optional Sampling Theorem und dessen Korollar (s. Appendix A). Die Voraussetzungen des Theorems werden durch die Bedingung (1) und durch die Voraussetzung, dass die Stoppzeit τ durch die konstante Stoppzeit T beschränkt ist, erfüllt. Die zweite Ungleichung kann leicht durch Widerspruch gezeigt werden. Wird auf der rechten Seite von (33) das Infinum über alle Supermartingale π genommen, Vt so impliziert dies V0 ≤ U0 . Andererseits ist der Prozess B selber ein Supermartingal. Somit t gilt    ht Vt U0 ≤ E0 max + V0 . (34) − t∈T Bt Bt Weil Vt ≥ ht für alle t, folgt U0 ≤ V0 . Und damit U0 = V0 . Gleichheit gilt für πt∗ = optimales Supermartingal.

Vt Bt

als 

Theorem 5.1 besagt, dass eine obere Grenze zu einem Preis einer amerikanischen Option konstruiert werden kann, indem die Dualfunktion über ein beliebiges Ft -Supermartingal π ht ausgewertet wird. Erfüllt ein solches Supermartingal die Bedingung πt ≥ B für alle t, so t ist der Optionspreis V0 durch den Wert π0 von oben beschränkt. Theorem 5.1 impliziert daher auch die bekannten Eigenschaften des Preisprozesses einer amerikanischen Option s. Proposition 2.1. Proposition 5.2 (Charakterisierung amerikanischer Optionen) Vt Der diskontierte Bewertungsprozess B ist das kleinste Supermartingal, das den diskontierten t ht Payoff Bt der Option für alle t dominiert. 

5.2

Obere Grenze

Kommen wir nun zur Konstruktion der oberen Grenze des Optionspreises. Theorem 5.1 besagt, dass falls das Supermartingal πt in (30) mit dem diskontierten Vt Bewertungsprozess B übereinstimmt, die obere Grenze F (0, π) gleich dem Wert der amet rikanischen Option ist. Daraus kann man schliessen, dass eine gute Approximation V˜t an den Bewertungsprozess Vt ebenfalls eine gute obere Grenze liefert, indem das Supermartingal πt so definiert wird, dass wenn V˜t mit Vt übereinstimmt, πt gleich dem diskontierten Vt Optionswert B ist. Es macht deshalb Sinn, das Supermartingal πt zu definieren durch t

15

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§ 5 DUALITÄTSANSATZ

"

πt+1 := πt +

V˜t+1 V˜t V˜t+1 − − Et Bt+1 Bt Bt+1

π0 := V˜0 , #+ V˜t − . Bt

(35) (36)

Diese Konstruktion erfüllt die Supermartingal-Eigenschaft Et [πt+1 − πt ] ≤ 0. Damit ist ein adaptiertes Supermartingal für eine beliebige Approximation V˜t konstruiert. Die obere Grenze kann durch Weglassen des positiven Teiles in (36) weiter verbessert werden. Dadurch wird πt ein Martingal, also bleibt ein Supermartingal. Dieses Martingal kann immer noch als obere Grenze benutzt werden, es stimmt mit πt für t = 0 überein und ist immer grösser oder gleich πt für t > 0. Da jetzt πt sogar ein Martingal und nicht nur ein Supermartingal ist, wird der Wert der Dualfunktion (30) kleiner und somit das Minimierungsproblem besser gelöst. Ab jetzt werde ich die folgende Martingal-Konstruktion des Supermartingals πt verwenden

πt+1 := πt +

V˜t+1 V˜t − − Et Bt+1 Bt

"

π0 := V˜0 , # V˜t+1 V˜t − . Bt+1 Bt

(37) (38)

Wird das Supermartingal (38) in (31) eingesetzt, dann ist die obere Grenze gegeben durch   " # t X ˜ ˜ ˜ Vj Vj−1  ht Vt V¯0 = V˜0 + E0 max  − + Ej−1 − . (39) t∈T Bt Bt Bj Bj−1 j=1

Folgendes Theorem 5.3 liefert uns eine Worst-Case Abschätzung für die obere Grenze (39) im Vergleich zur Qualität der Approximation V˜t . Theorem 5.3 (obere Grenze) Wird irgendeine Approximation an den Wert der amerikanischen Option V˜t , welche V˜t ≥ ht erfüllt, betrachtet, dann gilt   ˜ T V − V X t t ¯ . V0 ≤ V0 + 2E  (40) Bt t=0

Beweis Die Konstruktion der oberen Grenze ist gegeben durch (39):   " # t X ˜ ˜ ˜ V V h V j j−1  t t V¯0 = V˜0 + E0 max  − + Ej−1 − . t∈T Bt Bt Bj Bj−1 j=1

Diese Grenze kann abgeschätzt werden

16

(41)

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§ 5 DUALITÄTSANSATZ

 # " t X ˜ ˜ Vj Vj Vj−1 Vj−1 Vj−1  Vj − + − + − V¯0 ≤ V˜0 + E0 max  Ej−1 t∈T Bj Bj Bj Bj−1 Bj−1 Bj−1 j=1  " #  T X ˜ ˜ Vj Vj Vj−1 Vj−1  ≤ V˜0 + E0  − + − Ej−1 Bj Bj Bj−1 Bj−1 j=1 # ! " T V˜ V˜ X V V j j−1 j j−1 − − ≤ V0 + V˜0 − V0 + E0 Ej−1 + . Bj Bj−1 Bj−1 Bj 

j=1

Die erste Ungleichung folgt, weil V˜t ≥ ht ∀ t. Die zweite Ungleichung folgt aus der SuperVt Martingal Eigenschaft des diskontierten Preisprozesses B . Die dritte Ungleichung ist die t Dreiecks-Ungleichung. Theorem 5.3 folgt aus dieser Abschätzung.  Theorem 5.3 besagt, dass sich die obere Grenze linear in der Anzahl Ausübungspunkte verschlechtert, dies jedoch nur im Worst-Case. Der wichtige Term in (39)   #  " t X ˜ ˜ ˜ V V h V j−1  j t t E0 max  − + − , (42) Ej−1 t∈T Bt Bt Bj Bj−1 j=1

wächst zwar mit der Anzahl Ausübungspunkte, aber nicht unbedingt linear wie numerische Beispiele zeigen.

5.3

Implementation

In diesem Abschnitt beschreibe ich, wie die obere Grenze V¯0 von (39) implementiert wird. Ich gehe davon aus, dass ein Schätzer Cˆi (x) für den Fortsetzungswert Ci (x) existiert (z.B. durch regressionsbasierende Methode). Mit Hilfe dieses Fortsetzungswertes kann durch eine suboptimale Ausübungsstrategie wie in (28) eine untere Grenze V 0 an den Optionspreis V0 gefunden werden. Da immer noch V 0 ≥ h0 gilt, macht es Sinn in (39) V˜0 = V 0 zu setzen. Der approximierte Preisprozess kann wie üblich als n o V˜t = max Cˆt , ht (43) berechnet werden. Die obere Grenze wird also mit Hilfe der Formel   " # t X ˜ ˜ ˜ V V h V j j−1  t t V¯0 = V 0 + E0 max  − + Ej−1 − . t∈T Bt Bt Bj Bj−1

(44)

j=1

berechnet. Um V¯0 zu schätzen, werden b unabhängige Pfade des zugrundeliegenden Markov-Prozess Xt simuliert. Mit Hilfe dieser Pfade werden die Zufallsvariablen

17

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§ 5 DUALITÄTSANSATZ



" # t X ˜ ˜ ˜ V V h V j j−1  t t max  − + − Ej−1 t∈T Bt Bt Bj Bj−1

(45)

j=1

berechnet. Der Mittelwert über diese Zufallsvariablen liefert uns eine Annäherung an den Erwartungswert E0 auf der rechten Seite von (44). Um die Zufallsvariablen aus (45) zu berechnen, müssen die bedingten Erwartungswerte " # V˜j V˜j−1 − (46) Ej−1 Bj Bj−1 ermittelt werden. Meist können diese bedingten Erwartungswerte nicht exakt berechnet werden und es ist nötig diese ebenfalls mittels Simulation zu schätzen. Dazu kann folgender kurzer Algorithmus verwendet werden: Algorithmus 5.4 (Bedingter Erwartungswert) i.) Schritt: Der zugrundeliegende Markov-Prozess Xt hat zum Zeitpunkt j den Wert Xj , simuliere d-mal den nächsten Schritt Xj+1 des Markov-Prozess und berechne d-mal den Wert des Preisprozesses Vj+1 mit (43). ii.) Schritt: Der Mittelwert dieser d simulierten Werte für Vj+1 ist die Schätzung des bedingten Erwartungswertes. ◦ Damit haben wir alles, um die obere Grenze zu berechnen. Im nächsten Abschnitt gebe ich einige numerische Beispiele zur regressionsbasierenden Methode und zum Dualitätsansatz an.

5.4

Numerische Beispiele

Die regressionsbasierende Methode ist davon abhängig, welche Basisfunktionen ψ verwendet werden. Ich habe drei verschiedene Sets von Basisfunktionen getestet. Als Basisfunktionen verwende ich die konstante 1-Funktion, das Underlying des Markov-Prozesses, die Pay-Off Funktion ht , so wie Produkte und Differenzen des Underlyings. Die Algorithmen habe ich in Matlab 6.5 implementiert und auf einem Computer mit Intel Pentium IV Prozessor 2,80 GHz und 1 GB RAM laufen lassen. Der Matlab-Code kann auf Wunsch beim Autor bestellt werden. Um einen Vergleich mit dem CRR-Modell zu ermöglichen, berechne ich wieder die beiden Beispiele von Abschnitt 3. Als erstes Beispiel betrachte ich eine amerikanische Put-Option auf das Minimum zweier unabhängiger Aktien A und B. Als Parameter benutze ich S0A = S0B , K = 50, σA = 0.25, σB = 0.15, T = 1, M = 12 Dividendenausschüttung δ = 0.08 und risikofreier Zinssatz r = 0.05. Für die Simulation der regressionsbasierende Methode verwende ich b = 2000 unabhängige Pfade für die obere Grenze und nochmals b = 2000 unabhängige Pfade für die untere Grenze. Um den Dualitätsansatz zu simulieren verwende ich bdual = 200 unabhängige Pfade und jeweils d = 20 Schritte um die bedingten Erwartungswerte zu schätzen.

18

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§ 5 DUALITÄTSANSATZ

Die meiste Rechenzeit wird in die Simulation der Pfade investiert, mit den gewählten Parameter b, bdual und d beanspruchen die regressionsbasierende Methode und der Dualitätsansatz ungefähr gleichviel Rechenzeit. Für eine Simulation der regressionsbasierenden Methode benötigt der Algorithmus im Durchschnitt 160 Sekunden, für den Dualitätsansatz ca. 167 Sekunden. Die Wahl und die Anzahl der Basisfunktionen beeinflusst die Rechenzeit nur geringfügig (± 1 Sekunde). Jede Simulation habe ich 100 Mal durchgeführt um Schätzungen der Mittelwerte und Standardabweichungen zu erhalten. Die Resultate sind in Tabelle 3 zusammengefasst. Zur Abkürzung habe ich Si geschrieben, wobei i ∈ {A, B} gilt. Die Standardabweichungen sind in Klammern angegeben. Im ersten Set habe ich 5 Basisfunktionen, im zweiten Set 8 Basisfunktionen und im dritten Set 12 Basisfunktionen benutzt. In den Spalten mit ’Regression’, resp. ’Dualität’ sind jeweils die oberen Grenzen der regressionsbasierenden Methode, resp. des Dualitätsansatzes enthalten. Die Spalte ’CRR’ beinhaltet den Wert der deterministischen Methode von Cox, Ross und Rubinstein, vgl. Abschnitt 3. Dieser Wert dient als Vergleich. ˆ ψi in (22) singulär ist und Das Resultat ’Na’ (Not available) bedeutet, dass die Matrix D somit keine Approximation mit der regressionsbasierenden Methode möglich ist. Dies ist vor allem der Fall bei Optionen welche tief im Geld (deep in-the-money) oder tief aus dem Geld (deep out-of-the-money) sind. Dort ist bei der Wahl der Basisfunktionen jeweils Vorsicht geboten. S0i 40

Basisfunktionen 1, Si , Si2 1, Si , Si2 , Si3 , SA SB

50

1, Si , Si2 , Si3 , SA SB , 2 S , S S 2 , h(S , S ), |S − S | SA B A B A B A B 1, Si , Si2

Untere Grenze 14.92 (0.11) 14.92 (0.11) Na

Regression 16.36 (0.11) 15.41 (0.11) Na

Dualität 15.68 (0.11) 15.38 (0.09) Na

CRR 14.95

7.31 (0.11) 7.32 (0.12) 7.35 (0.12) 2.55 (0.09) 2.56 (0.09) 2.58 (0.09)

8.66 (0.12) 8.00 (0.11) 7.44 (0.12) 3.78 (0.09) 3.12 (0.09) 2.70 (0.08)

7.94 (0.12) 7.76 (0.10) 7.64 (0.09) 3.15 (0.10) 2.91 (0.07) 2.76 (0.07)

7.30

1, Si , Si2 , Si3 , SA SB

60

1, Si , Si2 , Si3 , SA SB , 2 S , S S 2 , h(S , S ), |S − S | SA B A B A B A B 1, Si , Si2 1, Si , Si2 , Si3 , SA SB 1, Si , Si2 , Si3 , SA SB , 2 S , S S 2 , h(S , S ), |S − S | SA B A B A B A B

14.95 14.95

7.30 7.30 2.58 2.58 2.58

Tabelle 3: Werte Vˆ0 für eine amerikanische Put-Option auf das Minimum von 2 Aktien

19

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§ 5 DUALITÄTSANSATZ

Als zweites Beispiel betrachte ich eine amerikanische Call-Option auf den geometrischen Mittelwert von 2 unabhängigen Aktien. Die Parameter bleiben die gleichen wie beim ersten Beispiel. Die Resulate sind in der Tabelle 4 aufgelistet. S 0i 40

Basisfunktionen 1, Si , Si2 1, Si , Si2 , Si3 , SA SB

50

1, Si , Si2 , Si3 , SA SB , 2 S , S S 2 , h(S , S ), |S − S | SA B A B A B A B 2 1, Si , Si

Untere Grenze 0.08 (0.01) 0.09 (0.01) Na

Regression 0.32 (0.04) 0.26 (0.03) Na

Dualität 0.27 (0.03) 0.23 (0.02) Na

CRR 0.09

2.01 (0.08) 2.05 (0.07) 2.05 (0.07) 9.40 (0.15) 9.70 (0.08) Na

3.06 (0.08) 2.36 (0.06) 2.15 (0.06) 9.90 (0.08) 9.81 (0.07) Na

2.67 (0.07) 2.38 (0.05) 2.30 (0.05) 10.28 (0.07) 10.20 (0.06) Na

2.11

1, Si , Si2 , Si3 , SA SB

60

1, Si , Si2 , Si3 , SA SB , 2 S , S S 2 , h(S , S ), |S − S | SA B A B A B A B 1, Si , Si2 1, Si , Si2 , Si3 , SA SB 1, Si , Si2 , Si3 , SA SB , 2 S , S S 2 , h(S , S ), |S − S | SA B A B A B A B

0.09 0.09

2.11 2.11 10 10 10

Tabelle 4: Werte Vˆ0 für eine amerikanische Call-Option auf den geometrischen Mittelwert von 2 Aktien Diese zwei Beispiele lassen nur limitierte Interpretationen zu. Folgende Punkte sind dabei erwähnenswert: • Die untere Grenze scheint viel näher am exakten Wert zu sein als die obere Grenze. Mit dem low-biased Schätzer kann eine genauere Approximation an den Optionswert gemacht werden, als mit dem high-biased Schätzer. • Die Wahl der Basisfunktionen ist beim regressionsbasierenden Modell essentiell. Je mehr sinnvolle Basisfunktionen gebraucht werden, desto besser wird die Schätzung. ˆ ψi Doch zuviele Basisfunktionen können auch problematisch werden, weil die Matrix D in (22) singulär werden könnte und damit die regressionsbasierende Methode nicht mehr anwendbar ist. Es ist nicht immer klar welche und wieviele Funktionen als Basisfunktionen geeignet sind. Unter Umständen ist es schwer Basisfunktionen überhaupt zu berechnen (z.B. bei sehr exotischen Optionen). Mit mehr Basisfunktionen steigt der rechnerische Aufwand, dieser Einfluss ist aber eher klein. • Der Dualitätsansatz liefert beim ersten Set von Basisfunktionen eine markante Verbesserung, beim zweiten Set noch eine geringe Verbesserung und beim dritten Set sind die

20

Bewerten von Rainbow-Optionen

§6

ABSCHLIESSENDE BEMERKUNGEN

Schätzungen des Dualitätsansatzes sogar leicht schlechter. Daraus kann man schliessen, dass bei wenigen zur Verfügung stehenden Basisfunktionen mit dem Dualitätsansatz eine Verbesserung erzielt werden kann. Besonders beim Bewerten von Optionen auf höherdimensionalen Underlyings ist dies nützlich. Auch um eine Option welche tief aus dem Geld oder tief im Geld ist, zu bewerten, scheint es effektiver (resp. sicherer) eine Approximation mit wenigen Basisfunktionen durchzuführen und diese Grenze mit Hilfe des Dualtiätsansatzes zu verbessern, anstatt viele Basisfunktionen zu benutzen.

6 Abschliessende Bemerkungen Effizientes Bewerten von Rainbow-Optionen stellt nach wie vor eine grosse Herausforderung dar. Deterministische Methoden sind dafür nicht besonders gut geeignet, Monte-Carlo Methoden bieten eine Alternative. Hier gibt es verschiedene Ansätze. Der Dualitätsansatz von Haugh und Kogan ist ein starkes Werkzeug um eine bestehende Approximation an den Optionspreis zu verbessern. Auch liefert dieser Ansatz eine obere und eine untere Grenze an den Optionspreis. Bei vorhandener grosser Rechenleistung kann das Vertrauensintervall sehr klein gemacht werden. Der Dualitätsansatz ist auch besonders aus theoretischer Sichtweise sehr interessant. Im klassischen Sinne ist das Bewerten von amerikanischen Optionen stets ein Maximierungsproblem über alle Stoppzeiten. Der Dualitätsansatz betrachtet das Bewertungsproblem aus einem anderen Blickwinkel. Neu ist das Bewerten von amerikanischen Optionen ein Minimierungsproblem über alle, den Preisprozess dominierenden, Supermartingale.

21

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§ 7 APPENDIX

7 Appendix 7.1

Appendix A: Wahrscheinlichkeitstheorie

In diesem Appendix stelle ich eine kleine Sammlung von Definitionen, Eigenschaften und Sätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie zusammen. Es ist kein Exkurs in die Wahrscheinlichkeitstheorie, sondern nur das Auflisten von in dieser Arbeit benützten Definitionen und Notationen. Für mehr Details verweise ich auf Sznitman [10]. Nach den Axiomen von Kolmogorov wird ein Zufallsexperiment durch einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A , P ) modelliert. Definition 7.1 (Wahrscheinlichkeitsraum) Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A , P ) besteht aus: • Ω, eine nicht leere Menge (z.B. R) • A , eine σ-Algebra auf Ω. D.h. A ist eine Familie von Teilmengen von Ω, mit den Eigenschaften: i.) Ω ∈ A ; ii.) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A ; iii.) für jede abzählbare Folge Ai , i ≥ 1, Ai ∈ A gilt ∪i≥1 Ai ∈ A . • P , ein Wahrscheinlichkeitsmass auf (Ω, A ).



Definition 7.2 (Zufallsvariable) Eine Zufallsvariable X ist eine messbare Abbildung von (Ω, A ) nach (R, B(R)). Wobei B(R) die Borel-σ-Algebra in R ist.  Definition 7.3 (Stochastischer Prozess) Ein stochastischer Prozess in diskreter Zeit ist eine endliche oder unendliche Folge von Zufallsvariablen X0 , X1 , . . . , Xn , wobei der Index die Zeit darstellt. In stetiger Zeit kann ein stochastischer Prozess als Xt t ∈ R geschrieben werden. Dies bedeutet, dass zu jedem Zeitpunkt t eine Zufallsvariable realisiert wird.  Definition 7.4 (Erwartungswert) Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X auf (Ω, A , P ), die Z |X| dP < ∞

(47)

Ω

erfüllt, wird definiert wie folgt: Z E[X] =

XdP.

(48)

Ω

Definition 7.5 (Filtration) Eine Filtration ist eine aufsteigende Folge Fn , n ≥ 0 von Teil σ-Algebren von A (d.h. F0 ⊆ F1 ⊆ · · · ⊆ Fn ⊆ · · · ⊆ A ). 

22

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§ 7 APPENDIX

Definition 7.6 (Fn -adaptiert) Eine Folge Xn , n ≥ 0, von Zufallsvariablen heisst Fn -adaptiert, falls für n ≥ 0, Xn Fn messbar ist.  Der bedingte Erwartungswert E[X|Fn ] ist der Erwartungswert von der Zufallsvariable X, bedingt, dass wir alle Informationen die in der σ-Algebra Fn enthalten sind kennen. Bei diskreten stochastischen Prozessen kann der bedingte Erwartungswert E[Xn+1 |Fn ] interpretiert werden als: ’Beste Prognose der Zufallsvariablen Xn+1 unter der Bedingung, dass die Zufallsvariablen X0 , X1 , . . . , Xn bekannt sind.’ Der bedingte Erwartungswert kann durch folgende Proposition mathematisch korrekt definiert werden: Proposition 7.7 (Bedingter Erwartungswert) Sei X eine integrierbare Zufallsvariable auf (Ω, A , P ) und F eine Teil σ-Algebra von A . Dann existiert eine Zufallsvariable Z mit Z ist F -messbar und integrierbar.

(49)

E[X · 1F ] = E[Z · 1F ] für F ∈ F .

(50)

1F ist die Indikatorfunktion auf der Menge F . Z ist eindeutig bis auf P-Null Äquivalenz bestimmt. Notation: Z = E[X|F ], genannt bedingter Erwartungswert.  Für den Beweis und weitere Erläuterungen verweise ich auf Sznitman [10]. Definition 7.8 (Super-, Sub-, Martingal) Sei (Ω, A , P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und Fn , n ≥ 0, eine Filtration. Eine Fn -adaptierte Folge Xn , n ≥ 0 von integrierbaren Zufallsvariablen heisst Fn -adaptiertes Martingal (bzw. Supermartingal, bzw. Submartingal), falls gilt:

∀ n ≥ 0, E[Xn+1 |Fn ] = Xn , P-f.s. (Martingal );

(51)

∀ n ≥ 0, E[Xn+1 |Fn ] ≤ Xn , P-f.s. (Supermartingal );

(52)

∀ n ≥ 0, E[Xn+1 |Fn ] ≥ Xn , P-f.s. (Submartingal ).

(53)

Diese Definition wird vielfach auch Martingal-Eigenschaft genannt. Definition 7.9 (Markov-Prozess) Ein Markov-Prozess ist ein stochastischer Prozess der folgende Eigenschaft erfüllt: P [Xt+1 = j|Xt = it , Xt−1 = it−1 , . . . , X0 = i0 ] = P [Xt+1 |Xt = it ]

(54)

Ein Markov-Prozess kennt immer nur den momentanen Zustand Xt , aber nicht den Pfad, der zu diesem Zustand führt, in diesem Sinne ist der Prozess ’vergesslich’.

23

Bewerten von Rainbow-Optionen

§ 7 APPENDIX

Definition 7.10 (Stoppzeit) Eine Zufallsvariable N : Ω → N ∪ {∞} heisst Stoppzeit (bzgl. der Filtration Fn ), falls {ω ∈ Ω : N = n} ∈ Fn ∀ n ∈ N

(55)

gilt. D.h. die Entscheidung zum Zeitpunkt n zu stoppen, hängt nur von den Informationen bis zum Zeitpunkt n ab.  Durch Ausüben der Option nach einer Stoppzeit wird eine Stoppstrategie definiert. Theorem 7.11 (Optional Sampling Theorem) Es sei Xn ein Fn -adaptiertes Supermartingal. Weiter sei τ eine beschränkte Stoppzeit bzgl. der Fn -Filtration, so dass τ ≤ T , für ein T ∈ R, gilt. Dann ist Xτ ein Fτ -adaptiertes Supermartingal.  Korollar 7.12 Unter den gleichen Voraussetzungen wie im Optional Sampling Theorem gilt E[X0 ] ≥ E[Xτ ] ≥ E[XT ].

(56)

Für den Beweis des Optional Sampling Theorem und des Korollars verweise ich auf Bauer [1].

7.2

Appendix B: Geometrische Brownsche Bewegung

Definition 7.13 (Standard Brown’sche Bewegung SBM) Eine Standard Brown’sche Bewegung auf [0, T ] ist ein stochastischer Prozess {W (t), 0 ≤ t ≤ T } mit den folgenden Eigenschaften: 1. W (0) = 0; 2. Die Abbildung t 7→ W (t) ist, mit Wahrscheinlichkeit 1, auf [0, T ] stetig; 3. Die Zuwächse W (t1 ) − W (t0 ), W (t2 ) − W (t1 ), . . . , W (tk ) − W (tk−1 ) sind unabhängig für alle k und für alle 0 ≤ t0 < t1 < . . . < tk ≤ T ; 4. W (t) − W (s) ∼ N (0, t − s) für alle 0 ≤ s < t ≤ T.



Definition 7.14 (Brown’sche Bewegung BM (µ, σ 2 )) Für Konstanten µ und σ > 0 nennt man einen stochastischen Prozess X(t) eine Brown’sche Bewegung mit Drift µ und Diffusions-Koeffizient σ 2 (X ∼ BM (µ, σ 2 )), falls X(t) − µt σ eine Standard Brown’sche Bewegung SBM nach Definition 7.13 ist.

24



Bewerten von Rainbow-Optionen

§ 7 APPENDIX

Eine BM (µ, σ 2 ) X(t) kann aus einer Standard Brown’schen Bewegung SBM W (t) konstruiert werden: X(t) = µt + σW (t). Aus den Definitionen 7.13 und 7.14 folgt, dass X(t) ∼ N (µt, σ 2 t). X(t) löst die stochastische Differentialgleichung (SDE): dX(t) = µdt + σdW (t). (57) Die Annahme X(0) = 0 ist eine Normalisierung. Eine Brown’sche Bewegung mit Parameter µ und σ 2 und Startwert x kann konstruiert werden, indem zu jedem X(t) noch x dazuaddiert wird. Definition 7.15 (Geometrische Brown’sche Bewegung GBM) Ein stochastischer Prozess S(t) ist eine geometrische Brown’sche Bewegung, falls log S(t) ein Brown’sche Bewegung 7.14 mit Startwert log S(0) ist. Das heisst eine geometrische Brown’sche Bewegung ist eine exponentierte Brown’sche Bewegung.  In einer ersten These hat Louis Bachelier (1900) vorgeschlagen, die BM zur Simulation von Aktienkursen zu verwenden. Der Durchbruch in der Finanzmathematik hatte die BM erst 1960 geschafft, als Paul Samuelson vorgeschlagen hat die GBM anstatt die BM zum Simulieren von Aktienkursen zu verwenden. Seither ist die geometrische Brown’sche Bewegung eines der wichtigsten Modelle der Finanzmathematik. Warum ist die GBM besser als die BM, um Aktienkurse zu simulieren? Ein grosser Vorteil gegenüber der BM ist, dass S(t) keine negative Werte annehmen kann, was eine wichtige Voraussetzung bei der Simulation von Aktienkursen ist. Doch noch wichtiger ist die Eigenschaft, dass die relativen Veränderungen S(t2 ) − S(t1 ) S(t3 ) − S(t2 ) S(tn ) − S(tn−1 ) , ,..., S(t1 ) S(t2 ) S(tn−1 )

(58)

unabhängig sind für t1 < t2 < · · · < tn , anstatt die absoluten Veränderungen S(ti+1 ) − S(ti ). Vielfach wird die Geometrische Brown’sche Bewegung auch durch eine SDE der Form dS(t) = µdt + σdW (t) S(t)

(59)

beschrieben. Die Koeffizienten µ und σ stimmen nicht mehr mit dem µ und σ der exponentierten BM (µ, σ 2 ) überein. S(t) hat Drift µS(t) und Diffusions-Koeffizient σ 2 S 2 (t). Mit der Notation S ∼ GBM (µ, σ 2 ) meine ich einen Prozess der Form (59). µ wird ebenfalls Drift Parameter genannt, obwohl er nicht der Drift-Parameter von S(t) oder von log S(t) im herkömmlichen Sinn ist. σ von (59) ist der Volatilitäts Parameter von S(t). Von (59) folgt, durch Anwenden von Itˆ o’s Formel (siehe z.B. Glasserman [5]), 1 d log S(t) = (µ − σ 2 )dt + σdW (t), 2 wobei dW (t) eine Standard Brown’sche Bewegung ist.

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(60)

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§ 7 APPENDIX

Daher gilt für S ∼ GBM (µ, σ 2 ) mit Startwert S(0) 1 S(t) = S(0) exp([µ − σ 2 ]t + σW (t)), 2

(61)

für alle t > 0. Allgemeiner gilt für u < t 1 S(t) = S(u) exp([µ − σ 2 ](t − u) + σ(W (t) − W (u))). 2

(62)

(62) liefert eine einfache Rekursionsformel, welche gut für die Simulation verwendet werden kann. S(t) wird für Werte 0 = t0 < t1 < · · · < tn simuliert durch  p 1 2 S(ti+1 ) = S(ti ) exp [µ − σ ](ti+1 − ti ) + σ ti+1 − ti Zi+1 , 2 

(63)

i = 0, 1, . . . , n − 1 mit Z1 , Z2 , . . . , Zn i.i.d. N (0, 1). Diese Methode ist exakt in dem Sinne dass die Punkte S(t1 ), . . . , S(tn ) genau die Verteilung besitzen wie der Prozess S ∼ GBM (µ, σ 2 ) zu den Zeitpunkten t1 , . . . , tn . Abb. 5 zeigt 10 geometrische Brown’sche Bewegungen mit Parameter S(0) = 100, µ = 0.05, σ 2 = 0.2, T = 1 und M = 100, M entspricht der Anzahl simulierter Punkte ti . Die Punkte werden durch lineare Interpolation miteinander verbunden.

Abbildung 5: 10 geometrische Brown’sche Bewegungen

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7.3

§ 7 APPENDIX

Appendix C: Regressionstheorie

Dieser Appendix enthält ein paar Gleichungen der Regressionstheorie, welche vor allem im regressionsbasierenden Modell von Abschnitt 4 benötigt werden. Sei Y eine Zufallsvariable, welche in einem gewissen Masse von K Variablen Xr linear P abhängig ist, bedeutet dies die Annahme eines Modells Y = K r=1 βr Xr + . Wobei die βr die gesuchten Regressionskonstanten sind,  ist ein zufälliger Fehlerterm mit E[] = 0. In Vektorschreibweise Y = Xβ +  (64) mit β = (β1 , . . . , βK )T ,

X = (X1 , . . . , XK ).

(65)

Gesucht ist der Vektor β der Regressionskonstanten. Der berühmte Kleinste-Quadrate Schätzer kann hierfür verwendet werden. Dieser wird definiert durch

2

βˆ = arg min Y − Xβˆ , (66) βˆ

wobei k·k die euklidische Norm in Rn ist.

2

(66) kann explizit gelöst werden indem die partiellen Ableitungen von Y − Xβˆ nach dem Vektor βˆ ausgerechnet und gleich 0 gesetzt werden

2 ∂

ˆ ˆ =! 0.

Y − Xβ = (−2)XT (Y − Xβ) ˆ ∂β

(67)

Daraus können die sogenannten Normalgleichungen abgeleitet werden XT Xβˆ = XT Y.

(68)

ˆ Dies sind K Gleichungen für K Unbekannte (Komponenten von β). Falls die Matrix (XT X) nicht singulär ist, liefert diese eine eindeutige Lösung für βˆ βˆ = (XT X)−1 XT Y.

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(69)

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§ LITERATUR

Literatur [1] Bauer H., Wahrscheinlichkeitstheorie de Gruyter, 1991, Berlin [2] Boyle P., Evnine J., Gibbs S., Numerical Evaluation of Multivariate Contingent Claims The Review of Financial Studies, Vol. 2, 1989, pp. 241-250 [3] Cox J., Ross S., Rubinstein M., Option Pricing: A Simplified Approach Journal of Financial Economics, Vol. 7, 1979, pp. 229-263 [4] Fingerhut C., Hanske M., Simonis D., Bewertung von Rainbow Optionen auf Basis zweidimensionaler Binomialbäume http://www.mathfinance.de/rainbowmakers/rainbowoptionpricer.pdf, 2005, Frankfurt [5] Glasserman P., Monte Carlo Methods in Financial Engineering Springer, 2004, New York [6] Haugh M. B., Kogan L., Pricing American Options: A Duality Approach Operations Research, Vol. 52, 2004, pp. 258-270 [7] Hausmann W., Diener K., Käsler J., Derivate, Arbitrage und Portfolio-Selection Vieweg, 2002 [8] Tsitsiklis J., Van Roy B., Regression methods for pricing complex American-style options IEEE Transactions on Neural Networks, Vol. 12, pp. 694-703 [9] Shreve S. E., Stochastic calculus for finance Vol. I & II Springer Verlag, 2004, New York [10] Sznitman A., Wahrscheinlichkeitstheorie Skript WS 05/06, ETH Zürich

Kontakt: Rolf Waeber Herzogenmühlestrasse 12 8051 Zürich [email protected]

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