ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Localización Astronómica y Geodésica Definición de Geodesia. Diferencias con la Astronomía

ASTRONOMÍA DE POSICIÓN – Localización Astronómica y Geodésica ______________________________________________________________________

Tema

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Localización Astronómica y Geodésica 2.1- Definición de Geodesia. Diferencias con la Astronomía Geodesia es un vocablo de origen griego que literalmente significa “dividir la Tierra”. La geodesia es una de las ciencias más antiguas cultivada por el hombre y su objetivo es el estudio y determinación de la forma y dimensiones de la Tierra, de su campo de gravedad y sus variaciones temporales. Dentro de esta definición, se incluye también la orientación y posición del planeta en el espacio. Esta disciplina se compone básicamente en dos partes: a) Geodesia superior: mediante física y matemáticas trata de determinar y representar la figura de la Tierra en términos globales. b) Geodesia práctica o topografía: estudia y representa partes menores de la Tierra donde la superficie puede ser considerada plana.

En la actualidad se la prefiere dividir de la siguiente manera: a) Geodesia geométrica: determinación de la forma y dimensiones de la Tierra en su aspecto geométrico, lo cual incluye fundamentalmente la determinación de coordenadas de puntos en su superficie. b) Geodesia física: estudio del campo gravitatorio de la Tierra y sus variaciones, mareas (oceánicas y terrestres) y su relación con el concepto de altitud. c) Astronomía geodésica: determinación de coordenadas en la superficie terrestre a partir de mediciones a los astros. d) Geodesia espacial: determinación de coordenadas a partir de mediciones efectuadas por las técnicas espaciales modernas (GNSS, VLBI, SLR, DORIS) y definición de sistemas de referencia.

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ASTRONOMÍA DE POSICIÓN – Localización Astronómica y Geodésica ______________________________________________________________________ e) Microgeodesia: medida de deformaciones en estructuras de obra civil o pequeñas extensiones de terreno mediante técnicas geodésicas de alta precisión.

Una parte fundamental de la geodesia es la determinación de la posición de puntos sobre la superficie terrestre, denominados Topocentros (T), mediante algún sistema de referencia que emplee coordenadas rectangulares (o esféricas Latitud, Longitud y Altura), con una terna de ejes (X, Y, Z) y cuyo eje polar Z se hace coincidir con el eje de rotación medio del planeta. La materialización de estos puntos sobre el terreno constituyen las denominadas redes geodésicas, conformadas por las coordenadas de estaciones que configuran la base de la cartografía de un país.

La superficie de referencia elegida para describir el globo terrestre debe reunir dos condiciones fundamentales: (a) que mejor represente a la forma y figura de la Tierra y, (b) que a ella resulten perpendiculares las verticales de los topocentros.

La superficie física más apta para representar a la Tierra en su forma y dimensiones es la superficie libre de los océanos supuestos en reposo y asumida prolongada por debajo de los continentes.

Figura 2.1a: Superficie de referencia (nmm) y vertical de un topocentro.

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ASTRONOMÍA DE POSICIÓN – Localización Astronómica y Geodésica ______________________________________________________________________ Esta superficie recibe el nombre de Nivel Medio del Mar (nmm) o simplemente Geoide. Sobre el geoide debe usarse la línea Vertical () de cada topocentro como elemento fundamental para la determinación de la posición [Figura 2.1a].

Nota 1: Aquí debemos hacer una importante aclaración. La astronomía y la geodesia se apoyan en sistemas de referencia (terna de ejes) y superficies totalmente diferentes, que describen la figura de la Tierra de distinto modo. Los sistemas astronómicos trabajan usando la superficie definida anteriormente como “geoide” o “nivel medio del mar”; es decir, con la verdadera forma terrestre. Sobre esta superficie, las coordenadas astronómicas latitud y longitud se apoyan en las líneas “verticales” al geoide. Por el contrario, los sistemas geodésicos trabajan con una superficie teórica matemática definida por un elipsoide de revolución. Esta forma no es materializable físicamente. Las coordenadas geodésicas latitud y longitud se apoyan en las rectas “normales” al elipsoide. En un determinado lugar, la vertical () y la normal (N) pueden o no coincidir, pero por lo general no concuerdan, estando sin embargo muy cercanas entre sí. La diferencia angular es de algunos segundos de arco, dependiendo de la separación entre las superficies “geoide” y “elipsoide” en la zona del topocentro [Figura 2.1b].

Figura 2.1b: Superficies de referencia Geoide y Elipsoide. T es el topocentro (lugar de observación), To es su proyección sobre el geoide y t es sobre el elipsoide. _________________________________________________________________________________________ Dep. de Geofísica y Astronomía. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. UNSJ Dr. Ricardo César Podestá

ASTRONOMÍA DE POSICIÓN – Localización Astronómica y Geodésica ______________________________________________________________________ 2.2- Vertical y Horizonte Astronómico Sobre todo topocentro T considerado como un punto material, se ejercen dos fuerzas:

(1) Atracción gravitatoria de las masas que constituyen la Tierra, a la que designamos con el vector N dirigido hacia el geocentro y a la cual llamaremos atracción newtoniana terrestre. (2) La fuerza centrífuga terrestre, que denominamos con C , motivada por la rotación del planeta alrededor del eje Z y dirigida perpendicularmente a él.

Estas dos fuerzas en el topocentro se componen y dan como resultante la fuerza de gravedad:

g = N + C . La recta soporte o línea de acción de la gravedad es la línea

vertical () del topocentro T, dirigida hacia el cenit [Figura 2.2a].

Figura 2.2a: dirección de la fuerza de gravedad (g) y de la vertical ().

Si la Tierra fuera una esfera de densidad constante sin rotación, esa fuerza

g

se

orientaría hacia el centro; pero como no es así, se dirige fuera del centro. El plano perpendicular a la vertical, trazado por el topocentro T es el horizonte astronómico de ese topocentro.

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Como ya sabemos, el calificativo “astronómico” se aplica a las cosas o conceptos ligados a la vertical y a la superficie del geoide; mientras que el calificativo “geodésico” se refiere a elementos vinculados a la normal del elipsoide terrestre que veremos más adelante.

2.3- Movimiento del Eje de Rotación. Movimiento del Polo La posición del eje de rotación no es fija con respecto al cuerpo físico de la Tierra. Pueden definirse dos tipos diferentes de oscilaciones que no deben ser confundidas: ( i) el movimiento del eje “dentro” del cuerpo físico de la Tierra y, (ii) el movimiento del eje “fuera” de la Tierra.

El primero (i) es de pequeña escala, tiene un origen principalmente geofísico y en menor medida por fuerzas lunisolares. Se lo denomina Movimiento del Polo y afecta las coordenadas astronómicas de latitud y longitud. El segundo (ii) es el que experimenta el planeta contra el fondo de estrellas, llamado Precesión, provocando el desplazamiento de los polos celestes y del ecuador y afectando las coordenadas celestes. Veamos ahora el movimiento del polo. Supongamos que en un momento dado podemos marcar sobre la superficie terrestre la posición que corresponde al polo norte (o sur) terrestre (P) con el punto 1; si algunas semanas después volvemos a marcar el polo, observamos que su posición cae en el punto 2, y así sucesivamente [Figura 2.3.a]. A medida que transcurren las semanas, si vamos uniendo las sucesivas posiciones, notamos que el polo no es un punto fijo de la superficie terrestre, sino que se mueve cíclicamente. Figura 2.3a: movimiento del polo.

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ASTRONOMÍA DE POSICIÓN – Localización Astronómica y Geodésica ______________________________________________________________________ Concluimos que el polo se mueve describiendo una curva espiral directa llamada poloide, que cumple un ciclo o periodo en aproximadamente 14 meses, denominado periodo de Chandler. Sobre la base de estos 14 meses en que el polo da una vuelta completa sobre la poloide, resulta que el desplazamiento angular diario del polo es del orden de:

360° / (14 x 30 días ) = 0°.857 por día Podemos entonces hablar ahora de un polo instantáneo, que es el calculado a través de las observaciones astronómicas y, un polo medio de la época, que es el punto de la superficie terrestre cuya posición se establece como promedio de las posiciones instantáneas observadas durante un período largo de tiempo (décadas). Distintos polo medios se han ido adoptando a medida que han transcurrido las épocas. En la actualidad el polo medio está fijado para la época 2000 [Figura 2.3b]. El organismo internacional denominado International Earth Rotation and Reference Systems Service (IERS) es el encargado de proveer la posición del polo instantáneo (coordenadas del polo) respecto al polo medio de la época.

Figura 2.3b: Ciclo de la poloide hasta el año 2000 (línea punteada) y deriva del polo medio a lo largo de las épocas (línea llena azul). La posición de los ejes X,Y (en rojo) está definida por el IERS.

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La poloide se mantiene dentro de un círculo centrado en P de no más de 15 metros de radio [Figura 2.3c]. En consecuencia, como el desplazamiento angular diario del polo instantáneo es de 0°.857, su movimiento lineal diario sobre la poloide es de: 0°.857 = 0.014957 radianes 0.014957 rad x 15 metros = 0.224 metros = 22 cm Figura 2.3c: desplazamiento angular diario de la poloide

La rotación de la Tierra se entiende como el movimiento entre dos sistemas de referencia geocéntricos distintos, uno solidario a la Tierra (acompaña la rotación) denominado International Terrestrial Reference System (ITRS) y el otro fijado en el espacio (sin rotación) denominado Geocentrical Celestial Reference System (GCRS).

Para el estudio de la rotación de la Tierra y de la precesión de los equinoccios se utiliza un arreglo de ejes intermedios definido en forma convencional, cuyo eje vertical intermedio es el eje de rotación instantáneo y contiene al polo CIP, [Figura 2.3d].

El movimiento de este eje intermedio respecto al sistema de referencia GCRS se denomina “Precesión-Nutación”. Por otro lado, respecto al sistema de referencia ITRS se denomina “Movimiento del Polo” [Figura 2.3e]. El sistema intermedio vincula entonces el ITRS con el GCRS.

En el año 2003, la Unión Astronómica Internacional definió el sistema intermedio cuyo polo se llamó Polo Celeste Intermedio CIP (en inglés Celestial Intermediate Pole) que corresponde al polo instantáneo. El polo medio terrestre fijado por el IERS es el que concierne al sistema ITRS.

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Figura 2.3d: Eje intermedio (CIP) respecto a los sistemas de ref. GCRS e ITRS

Figura 2.3e: Precesión en el GCRS y movimiento del polo en el ITRS, respectos al eje intermedio CIO

Observemos que como la separación lineal entre los polos instantáneo (que llamaremos Pi) y medio (P) puede llegar a ser del orden de 15 metros, el ángulo entre ambos ejes de rotación puede llegar a valer aproximadamente medio segundo de arco [Figura 2.3e].

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e  ei 

P Pi "  R

15 m 206265" e ei   0".485 6371 x 10 3 m 

Figura 2.3e: diferencia angular entre los ejes instantáneo y medio

2.4- Sistemas de Coordenadas Geocéntricos Los ejes de rotación medio (e) e instantáneo (ei) y sus correspondientes planos perpendiculares, los ecuadores medio e instantáneo, son elementos geométricos utilizados para definir sistemas cartesianos geocéntricos (el origen de ellos coincide con el centro de masa de la Tierra o geocentro) y absolutos (no dependen de elementos locales de los topocentros). Estos dos sistemas son denominados astronómicos o también, más popularmente, geográficos: (a) Sistema Astronómico o Geográfico Ecuatorial Medio o Terrestre Medio (b) Sistema Astronómico o Geográfico Ecuatorial Instantáneo o Terrestre Instantáneo

(a) Sistema Ecuatorial Medio o Terrestre Medio En este sistema el origen se encuentra en el geocentro “G” y el eje Z se hace coincidir con el polo medio o eje de rotación medio “e”. El plano fundamental resulta ser el ecuador medio “E”. No siendo la Tierra un esferoide de densidad uniforme, no hay ninguna razón para suponer que las verticales de los topocentros corten al eje de rotación, es decir que determinen planos con él. Pero en cada topocentro podemos considerar una paralela al eje que sí habrá de determinar con la vertical de T, un plano que se denomina Meridiano Astronómico de ese topocentro [Figura 2.4a].

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ASTRONOMÍA DE POSICIÓN – Localización Astronómica y Geodésica ______________________________________________________________________ Sobre el ecuador medio tendremos el primer eje X, ubicado trazando por el geocentro una paralela a la vertical de Greenwich (G) por su topocentro [Figura 2.4b].

Figura 2.4a: Meridiano astronómico y vertical de T

La proyección ortogonal de esa vertical sobre el ecuador medio es el eje X. El sistema Terrestre Medio es directo, de modo que a 90° contados a partir del primer eje X, yace el segundo eje Y, estando dirigido al este de Greenwich.

Fig. 2.4b: Ubicación del primer eje X del sistema Terestre Medio

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En este sistema Ecuatorial Medio o Terrestre Medio se localiza un topocentro, mediante el uso de “Coordenadas Astronómicas (o Geográficas) Medias”. Estas son el rumbo y la elevación de la vertical del topocentro.

Consideremos un topocentro T y su vertical , que corta al ecuador medio en T . Sea T´ la proyección ortogonal de T sobre el ecuador medio [Figura 2.4c]. El ángulo o rumbo contado positivo desde el primer eje X hacia el segundo eje Y es la Longitud Astronómica Media () y se cuenta como 0° <  < 360° , o bien en el rango –180° <  < +180°.

Figura 2.4c: Latitud () y Longitud () astronómicas

La elevación de la vertical es la Latitud Astronómica Media (), cuyos valores se cuenta de –90° <  < +90°.

La Colatitud es la descención de la vertical y tiene el intervalo 0° < 90°- < 180° .

Obsérvese que  es el ángulo diedro que forma el plano coordenado ZX con el meridiano astronómico de T, determinado por la paralela a Z (//Z) y  , [Figura 2.4d].

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Figura 2.4d: Planos que forman la longitud

En base a las coordenadas esféricas pueden encontrarse las correspondientes coordenadas rectangulares del siguiente modo:

X = cos  cos  Y = cos  sen 

tg  = Y / X

Z = sen 

tg  = Z / ( X + Y )

2

2 1/2

(b) Sistema Ecuatorial Instantáneo o Terrestre Instantáneo El origen del sistema se hace coincidir con el geocentro G lo mismo que en el sistema terrestre medio. El eje polar Zi coincide con el eje de rotación instantáneo ei estando entonces dirigido hacia el polo norte definido anteriormente como CIP. El plano fundamental resulta ser el Ecuador Instantáneo Ei [Figura 2.4e]. Sea X el primer eje del sistema terrestre medio, la proyección ortogonal de X sobre el ecuador instantáneo específica la dirección de este plano que se adopta como primer eje Xi del sistema terrestre instantáneo.

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Figura 2.4e: Proyección del primer eje X del Sistema Terrestre Medio sobre el ecuador instantáneo Ei.

Llama la atención el hecho que, contrariamente a la definición del primer eje X del sistema ecuatorial medio, ahora el primer eje Xi del ecuatorial instantáneo no se define como la proyección sobre el ecuador instantáneo de la paralela al meridiano de Greenwich de la vertical de Greenwich; sino como la proyección del primer eje X del sistema medio. Por lo tanto no puede decirse que el plano Zi Xi de Ei sea paralelo al meridiano astronómico instantáneo de Greenwich.

Si E y Ei se definieran en forma independiente, harían falta 3 parámetros para especificar la posición relativa de ambos sistemas. Imponiendo la condición inicial de que el primer eje X de E pertenezca al plano Zi Xi de Ei , se resta un grado de libertad al problema y entonces podemos ventajosamente conocer las coordenadas del polo instantáneo con respecto al polo medio, usando dos parámetros (x, y) llamados Coordenadas del Polo Medio.

El sistema terrestre instantáneo es retrógrado, de modo que a 90° contados a partir de Xi en sentido de las agujas del reloj yace el segundo eje Yi dirigido al oeste de Greenwich [Figura 2.4f]. Esto de orientar Yi hacia el oeste se explica porque este sistema ha sido obtenido originariamente por la astronomía, la que cuenta los rumbos positivamente hacia el oeste, creciendo en el mismo sentido que los ángulos horarios.

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ASTRONOMÍA DE POSICIÓN – Localización Astronómica y Geodésica ______________________________________________________________________ Debido al movimiento tectónico, el sistema terrestre instantáneo no es fijo respecto al cuerpo físico de la Tierra como lo es el sistema terrestre medio. Entonces, para localizar un topocentro T vemos, según la figura, que T es el punto donde la vertical () corta al ecuador Ei, T´ es la proyección ortogonal de T sobre Ei . La semirrecta ´i es la proyección de la vertical sobre Ei. Figura 2.4f: Sistema Terrestre Instantáneo

El ángulo o rumbo de la vertical contado desde el primer eje Xi hacia el segundo eje Yi lo designamos con “i” y lo llamamos “Longitud Astronómica Instantánea de T” y es 0° b > 0 , Si b  a , f  0 corresponde a un elipsoide muy redondeado, tendiendo a esfera Si b  0 , f  1 corresponde a un elipsoide muy achatado, como una lenteja Entonces 0 < f < 1

ii) La excentricidad primera (e): e 2 

a2 - b2 a2

(15)

Si b  a , e  0 elipsoide muy redondeado Si b  0 , e  1 elipsoide muy achatado Entonces 0 < e < 1 . La excentricidad es el grado de deformación del elipsoide.

iii) La excentricidad segunda (e´): e´2 

a 2 - b2 b2

Si b  a , e´  0

elipsoide muy redondeado

Si b  0 , e´  

elipsoide muy achatado

(16)

Entonces , 0 < e´ < 1

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ASTRONOMÍA DE POSICIÓN – Localización Astronómica y Geodésica ______________________________________________________________________ Relacionando las dos excentricidades: De e2 : b2 = a2 (1 – e2)

(17)

De e´2 : a 2 = b2 (1 + e´2)

(18)

b2 = b2 (1 – e´2) (1 – e2)

Reemplazando la expresión (18) en la (17):

(1 + e´2) (1 – e2) = 1

e´ 2 

e2 1 - e2

e2 

,

e´ 2 (19) 1  e2

Si f = (a – b) / a , b = a (1 – f ) , reemplazando en la ecuación (15):

e2 

a 2 - a 2 (1 - f 2 )  1 - ( 1 - f )2 2 a 1 – e2 = (1 – f )2 1 – e2 = 1 – 2f + f2 e2 = f (2 – f)

(20)

Numerosos han sido los científicos que se han dedicado a determinar los parámetros del elipsoide terrestre utilizando distintos métodos. Algunos resultados se muestran a continuación. Bessel (1841)

: a = 6 377 397.15 metros

,

f = 1 / 299.1528

Clarke (1866)

: a = 6 378 206.4 metros

,

f = 1 / 294.98

Clarke (1880)

: a = 6 378 200.2 metros

,

f = 1 / 298.466

Helmert (1907)

: a = 6 378 200.0 metros

,

f = 1 / 298.4

Hayford (1907)

: a = 6 378 388  18 metros

,

f = 1 / 297.0  0.5

,

f = 1 / 298.3

Krasowsky (1940) : a = 6 378 245 metros

En el año 1930 la Asociación Internacional de Geodesia recomendó la adopción del elipsoide de Hayford; desde entonces se lo conoce como “Elipsoide Internacional”. Este fue el modelo adoptado por nuestro Instituto Geográfico Nacional (IGN), hasta el advenimiento de los sistemas de posicionamiento globales satelitales. _________________________________________________________________________________________ Dep. de Geofísica y Astronomía. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. UNSJ Dr. Ricardo César Podestá

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Debido a las nuevas técnicas geodésicas satelitales, especialmente el sistema GPS (Global Positioning Satellite), actualmente se trabaja con un elipsoide denominado WGS84 cuyas dimensiones son: a = 6 378 137 m , f = 1 / 298.257223563 , su eje Z pasa por el polo medio y el meridiano origen por Greenwich para la época 1984.0 .

2.11- Normal al Elipsoide. Desviación de la Vertical La recta Normal (W) es un elemento geométrico del elipsoide terrestre de gran importancia pero, dado que el elipsoide es una superficie matemática, la recta normal no es físicamente materializable tal como puede lograrse con la vertical.

Fig. 2.11a: Desviación de la vertical ()

Como sabemos, las verticales son perpendiculares al geoide y, como el elipsoide es una aproximación razonable del geoide, las normales han de coincidir muy cercanamente con las verticales.

Naturalmente, como el geoide y el elipsoide no coinciden exactamente, en general la normal (W) al elipsoide por un topocentro T no coincide con su vertical ( ), [Figura 2.11a].

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El ángulo entre ellas se denomina Desviación o Deflexión de la Vertical (). Puede alcanzar valores, en algunos lugares, de hasta 120 segundos de arco. La normal al elipsoide corta al eje polar Z (de rotación medio) en un punto que llamaremos “J” de coordenadas (0, 0, Zj), [Figura 2.11b].

Figura 2.11b: Elementos del elipsoide

El plano determinado por la normal (W) y el eje de rotación (Z) es el Meridiano Geodésico de t o T. El meridiano geodésico intercepta al elipsoide según una elipse de semiejes a y b llamada Elipse Meridiana de t o T . El elipsoide mismo puede considerarse engendrado por la rotación de la elipse meridiana alrededor del eje Z. Observemos que para puntos del hemisferio norte Z > 0 y Zj < 0, por lo que J se encontrará en el hemisferio sur. Al contrario, para Z < 0 y Zj > 0, por lo que J se ubicará en el hemisferio norte. Para Z = 0 y Zj = 0, estamos en el ecuador y J coincidirá con G.

2.12- Coordenadas Geodésicas Absolutas o Geocéntricas Sabemos que W es la normal al elipsoide terrestre por el topocentro T. Sea T´ la proyección ortogonal de T sobre el plano fundamental (coincidente con el ecuador medio) y W´ es la proyección ortogonal de la normal. Definimos a las coordenadas geodésicas de acuerdo a la [Figura 2.12a] como:

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L = Longitud Geodésica. 0° < L < 360° o -180° < L < +180° B = Latitud Geodésica –90° < B < +90° H = distancia tT = Cota Geodésica 90° - B = Colatitud Geodésica N = distancia JT = Gran Normal

Figura 2.11a: Coordenadas geodésicas

Las coordenadas para el punto t (sobre el elipsoide) son : Xt = N cos B cos L Yt = N cos B sen Zt / (1 – e2)1/2 = N (1 – e2)1/2 sen B N = a / (1 – e2 sen2 B)1/2 L

(21)

Las coordenadas para el topocentro T son : XT = Xt + H cos B cos L YT = Yt + H cos B sen ZT = Zt + H sen B L

(22)

Reemplazando las ecuaciones (6) en (7) obtenemos para T : XT = (N + H) cos B cos L YT = (N+ H) cos B sen L ZT = (N (1 – e2) + H) sen B L

(23)

Puesto que las coordenadas geodésicas están desarrolladas sobre una superficie matemática, no son observables directamente por ningún método.

L y B pueden calcularse realizando correcciones a partir de las coordenadas astronómicas (, ) observadas o mediante el empleo de receptores satelitales GPS.

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ASTRONOMÍA DE POSICIÓN – Localización Astronómica y Geodésica ______________________________________________________________________ Las coordenadas geodésicas aquí detalladas son absolutas (centradas en G), pero también existen coordenadas geodésicas no absolutas, es decir “locales” (con el origen de una terna de ejes en el topocentro). Éstas son las denominadas Horizontales Geodésicas Medias e Instantáneas. Este tipo de coordenadas no se tratarán en este curso.

2.12- Vinculación del Elipsoide al Sistema Terrestre Medio Recordando el sistema terrestre medio, vemos que la vertical de un topocentro T es la tangente a la línea de fuerza por T, cuya intersección con el geoide (nmm) llamamos To.

A la altura o distancia ToT (desde el geoide hasta el topocentro) se la llama Cota Astronómica H

,cuya medición requiere combinar tareas de nivelación y

gravimetría. En correspondencia, a la altura o distancia tT (desde el elipsoide hasta el topocentro) se la denomina Cota Geodésica (H), [Figura 2.12a].

Figura 2.12a: Cotas astronómica (H ) y geodésica (H)

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ASTRONOMÍA DE POSICIÓN – Localización Astronómica y Geodésica ______________________________________________________________________ Para poder vincular las coordenadas geodésicas ( B, L, H) con las astronómicas (, , H ), se debe establecer una relación simple entre las coordenadas astronómicas y geodésicas mediante correcciones cuyos valores son pequeños (del orden de los segundos de arco): B =  +  L =  +  H = H + H

(24)

Las correcciones en latitud () y longitud () están en función de la desviación de la vertical () y de los valores de sus componentes sobre el meridiano () y el primer vertical (), [Figura 2.12b].

Donde:

 = acimut astronómico de la dirección en que se supone desviada la vertical.

  sen ( -  ' )  ( -  ' )   (  ' -  ) cos  '

(25)

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